[12郭丽-玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合.docVIP

玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合 郭丽 包头师范学院数学科学学院 摘要：本文通过三叶玫瑰线的极坐标方程绘图命令，探求玫瑰线的花瓣数随n变化而变化的规律，同时还讨论了正方形与圆形的嵌套图形的绘制。 关键词：Mathematica 玫瑰线 图形嵌套 花以它独具的自然美使人赏心悦目，在生活中往往被人们当作理想、希望、幸福的象征。生活中有了花就有了灵气，程序中若也能“开”出几朵简单的花来，那该有多好。本文介绍的程序不仅能绘出形状各异的花朵，而且还可以用静态、动态和旋转三种不同的方式来呈现。本文的花都是依托数学公式中描述的曲线来绘制的，在给大家带来美的感觉的同时，也可以让大家直观地感受到数学公式中各个参数对结果的影响。用程序来实现这样的数学曲线，代码简单，运行高效。 一．公式带来的灵感之玫瑰线绘制 数学中有三叶玫瑰线（方程为））等曲线，这些曲线的极坐标方程很简单，基本形式均为：），即任意一点的极半径 是角度的函数。而极坐标系中的曲线难以用传统的方法绘出，如果借助于数学软件这项工作就变得易如反掌。极坐标方程的直角坐标方程为： 在程序中控制角度使其从变化到，描出极半径所对应的点，这样就可以绘出漂亮的玫瑰线；根据直角坐标方程，可以写出极坐标方程在中的绘图命令： 当然，不同所描出的曲线的形状也就不同。下面就通过几个方面的研究来探求玫瑰线花瓣数随变化而变化的规律。 ㈠ 当为奇数时，通过绘图命令，观察规律： (第1页，共9页) 三叶玫瑰线： 五叶玫瑰线： 七叶玫瑰线： （三叶） （五叶） （七叶） 依次推导下去，就可以推出玫瑰线方程的通项公式 这样我们就可以根据该程序绘出所有的基数叶的玫瑰线。当为基数时，花为瓣。花瓣数与相同。的取值范围为，在此范围内，玫瑰曲线完整，无 (第2页，共9页) 重叠现象。若的取值范围超过，玫瑰曲线就会出现不同程度的重叠。 ㈡为偶数时，不含叶玫瑰线，观察规律： 四叶玫瑰线： 八叶玫瑰线： 十二叶玫瑰线：  （四叶） （八叶） （十二叶） 依次类推下去，就可以推导出当为偶数（不含叶玫瑰线）时玫瑰线方程的通项： (第3页，共9页) 这样就可以根据该程序绘出不含叶玫瑰线的，其他所有的偶数叶的玫瑰线。当为偶数（不含叶玫瑰线）时，花瓣数是2瓣。 的取值范围为。在此范围内，玫瑰曲线完整，无重叠现象。若的取值范 围为，则不能够形成完整的玫瑰线。 ㈢叶玫瑰线 之所以对这些玫瑰线进行单独讨论，是因为它们具有一定的特殊性。若想要绘出六叶玫瑰线，通过上面讨论的两种分类是绘不出来的。假设 ，根据情况㈡，根据情况㈠语句将两个图象组合起来。下面举个例子来说明。 六叶玫瑰线： (第4页，共9页) g1 g2 （组合） 这种方法比较原始，通过已知曲线的绘图命令，将其旋转，再将两个图象组合在一起。 途径二：改变直角坐标方程中的参数 如何实现？通过六叶玫瑰线来说明 （六叶）中的的参数 改成，这样在的赋值函数中参数就变成了。就出现了三叶，但这是不 (第5页，共9页) 够的，所以还要将和中的参数 扩大2倍，变成。的取值范围不 变，这样就能够画出六叶玫瑰线。十叶、十四叶……叶的玫瑰线也可以用这种方法绘出。也可以总结出这些特殊玫瑰线的通项： 也可以扩大画图参数来扩大其范围，在这里就不详细说明了。 ㈣为小数时，则不是玫瑰线。 ㈤为奇数时，其图象左、右交替。所谓左右交替就是在轴的左、右两边， 总是有一半的玫瑰花瓣数比另一半的玫瑰花瓣数多1。在三叶玫瑰中，左边有两叶玫瑰花瓣，右边有一叶玫瑰花瓣；在五叶玫瑰中，左边有两叶玫瑰瓣，右边三叶玫瑰瓣。在七叶玫瑰中，左边四叶，右边三叶玫瑰瓣。而且无论是在哪一种情况下，随着参数的增加，会出现分布不均匀的缺口。 ⑴ ⑵ ⑶ 这种缺口现象可以通过改变图形的点的数量程度来改进。运用语句 例如： (第6页，共9页) 二变化而变化的规律。下面就通过动画来让玫瑰花“开花” ⒈奇数： ⒉偶数： ⒊特例： 三．正方形与圆形的嵌套组合 正方形与圆形的组合在日常生活中、教学中都会碰到，而运用传统的方法也可绘出简单的嵌套组合。但对于