(初中阶段几种重要的数学思想方法.docVIP

初中阶段几种重要的数学思想方法 教育 数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括.它是从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径.通过概括、比较上升为数学能力，并通过数学思想的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能力。数学思想的教学使中学数学教学进一步走向现代化.初中课堂教学中，数学思想尚处于隐含、渗透的阶段.毕业班复习辅导中有必要明确地突出其重要作用，使学生清楚地认识到只有在数学思想的指导下的数学学习活动，才是科学的数学学习活动，才具有很强的能动作用和创造作用. 一、转化与化归思想 1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法. 数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂. 2.转化包括等价转化和非等价转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改. 3.转化与化归的原则 将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决. 4.转化与化归的基本类型 （1）正与反、一般与特殊的转化； （2）常量与变量的转化； （3）数与形的转化； （4）数学各分支之间的转化； （5）相等与不相等之间的转化； （6）实际问题与数学模型的转化. 二、数形结合思想 1.数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位. 2.数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练，对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的. 数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助. 数形结合的主要方法有：解析法、三角法、图象法等. 3.数形结合的主要途径： （1)形转化为数：即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点. （2)数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题. （3)数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻. 4、在运用数形结合时，要注意两点： （1)“形”中觅“数”：很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解. （2)“数”上构“形”：很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系　，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解. 以上两者之间是相互联系的.例如在解析几何中，虽然研究的主要方面是用函数方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表达式具有明显的几何意义，则可在确定合适的坐标系后获得几何解释，从而能借助几何方法加以解决. 三、分类讨论思想 分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它. 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响. 1.分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于