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维混合型双曲——半抛物方程的问题 摘要：本文提出了两类维混合型双曲——半抛物型偏微分方程及其柯西问题，利用公式和带不等式，导出此问题的先验模估计。再利用先验模估计证明解的唯一性，解与初值函数和自由函数的连续依赖性。利用幂级数的一致收敛性证明解的存在性。 关键字：维混合型双曲——半抛物型偏微分方程，问题，先验模估计，唯一性，连续依赖性，存在性。 问题的提出 设函数满足下列方程和初值条件： 问题Ⅰ 其中，，， ，，， ，，， ，，。是已知连续可微函数 ，是未知连续可微函数。 问题Ⅱ 问题Ⅲ 2，主要结构 定理1、设是初值问题Ⅱ的解，如果存在，则对于依赖于的常数，满足如下先验模估计： ， 其中，，。 定理2、 设是初值问题Ⅲ的解，如果存在，则对于依赖于的常数，满足先验模估计： 证明：对方程两边乘以并在上积分，得 把式左端的被积函数化成散度形式， 对式左端利用公式进行简化，是左端记为 I，得 { 其中表示的边界，表示上的单位外法向量，分别是与轴正向夹角，若用表示的侧面，则=。 又因为，所以，有 . 因为的侧面的解析式为 ， 所以上的单位外法向量可以表示为 从而 将其代入的表达式，得 . 将、式代入式，得 利用带不等式，得 . 记 利用不等式 把上式代入式，得 . 取，.则式成立。 定理3、设∩是初值问题Ⅰ的解，则对于依赖于的常数，满足先验模估计： ， 定理4、双曲—抛物型方程问题Ⅰ至多有一个解. 证明：设问题Ⅰ有两个解，，令 ，则满足对 应于的问题Ⅰ， 利用能量模估计式得 故 即， 所以 ， 因为 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以问题Ⅰ有唯一解. 定理5、任取，则对于任意给定的，均存在，只要对应于和，和的解和就满足 . 证明：记 ，则满足问题Ⅰ，于是式成立. . 取 ，得式成立. 所以问题Ⅰ的解连续地依赖于. 解的存在性 由于和是未知函数，我们在证明问题Ⅰ解的存在性时，应先证明和的存在性。 因为 ， 当时，. ， 当时，. 由式，得 ， 将+式整理，得 ， 因为和是连续函数，所以和存在唯一。 定理6、设、， ，及满足，，，，则问题Ⅱ的解存在。 证明：因为 所以 级数收敛，所以绝对收敛. 所以问题Ⅱ的解存在. 定理7、设， ，及满足，， ，则问题Ⅲ的解存在。 证明：因为 所以 级数收敛，所以绝对收敛. 所以问题Ⅲ的解存在. 3、参考文献 [1] 数学物理方程 ,王明新编著 , 清华大学出版社 ，2005. [2] 偏微分方程 ，郇中丹、黄海洋编 ，高等教育出版社. [3] 数学物理方程讲义 ，姜尚礼、陈亚渐等，高等教育出版社，1996. [4] 数学物理方程 ，王元明、管平，东南大学出版社. [5] 偏微分方程 ，陈祖墀，第二版，中国科学技术大学出版社，2003. [6] 积分方程 ，张石生 ，重庆出版社 ，1988 . Abstract: The essay puts forward a type of n+1 dimension hyperbolic - parabolic partial differential equation and Cauchy problem, and then derives the questions’ energy mode estimate. Testify the solution’s uniqueness, the continuous dependence of primiary function and freedom function by using energy mode estimate. Key words: n+1 dimension hyperbolic - parabolic p