[2.1.1函数的概念.docVIP

第2．1．1节 函数 天地之间的万物都在时间长河中流淌着,变化着．从过去到现在,又从现在到将来．静止是暂时的,运动却是永恒的．天在动,地在动，世界上的一切量都在随着时间的变化而变化．世界上充满着各种变化的量----变量，研究和处理两个变量之间的关系是人类生活、科技发展的需要.那么我们怎样去描述两个变量之间的依赖关系呢? ?研习教材重难点 研习点1．函数的定义 1．函数的概念（重点） 函数的传统概念：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域．统称为函数的三要素． 对函数概念的理解： 函数的两个定义从本质上来说是一致的，只是叙述概念的出发点不同．在函数的两个定义中，传统定义是以变量的概念为基础的，它生动形象易于接受，所以初中采用了这个定义；近代定义是以集合和对应为基础的，把函数看成数集到数集的一种对应，突出自变量与函数值之间的对应关系，用近代定义解释各种各样的函数都很方便，从而使函数的近代定义更具有一般性．例如函数，如果从运动变化的观点来解释这个函数的意义就会非常困难，但用集合、对应的观点来解释，就会十分自然． “y=f(x)”仅仅是函数符号，f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x．这里，是自变量，它是法则所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；是自变量的函数，当为允许的某一具体值时，相应的的值就是与该自变量值对应的函数值，当用解析式表示时，则解析式就是函数的解析式．在研究函数问题时，我们除了常用表示函数外，还经常会用到、、等符号来表示． 与的既有联系又有区别,一般而言,表示当时函数的值,是一个常量；而是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量，仅仅是的一个特殊值，例如一次函数，当时，是一个常数． 对应关系是核心，它是对自变量进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接自变量与变量的纽带．按照这一“程序”或“方法”，从集合A任取一个，可得集合中唯一的与之对应．同一个可以“操作”于不同的形式的变量，例如是对进行的“操作”，是对进行的“操作”，同样，是对2进行的“操作”等． 其实由于函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值 【辨析·比较】 对应 对应和集合一样,也是一个不加定义的数学概念,《现代汉语词典》中对“对应”的解释是:一个系统中某一项在性质、作用、位置或数量上与另一系统中某一项相当．在数学中，对应是两个集合A与B之间的某种关系，对于A中的每一个元素来说，有以下三种情况：（1）B中有唯一元素与之对应；（2）B中没有元素与之对应；（3）B中不止一个元素与之对应．对于B中的每一个元素，也有上述类似情况． 典例1．下列对应关系是集合上的函数是有 ． （1），对应关系“对集合中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应”； （2），对应关系：→； （3）三角形，对应关系“对中三角形求面积与集合Q中元素对应．” 【研析】由于（1）中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且（3）中集合P不是数集，从而知只有（2）正确． 2．函数的定义域（重点） 定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题．忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”．函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况： (1)若是整式，则其定义域为全体实数集R； (2)若是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合； (3)若是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合； (4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集； (5)对于复合函数而言:如果函数的定义域为A，则的定义域是使得函数的自变量的取值集合.如果函数的定义域为A,则的定义域是函数的值域； (6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出. 【梳理·总结】 求函数定义域的几种常