[2008考研网校高数强化讲义6-7章.docVIP

多元函数微积分（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。 第一节　多元函数微分学 　　多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。　　【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。　　数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。　　【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。　　在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。　　在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。　　【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。　　一、多元函数微分学的基本概念及其关系　　定义1　设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。　　定义2　如果连续。　　如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。　　定理1　最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。　　定理2　介值定理；在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。　　定义3　偏导数的定义；设函数的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限为函数处对x的偏导数，记作即。　　类似地，函数的偏导数定义为。　　定义4　如果二元函数z=f（x,y）在区域D的每一点（x,y）处都有偏导数，一般地说，它们仍是x,y的函数，称为f（x,y）的偏导函数，简称偏导数，记为　　定义5　高阶偏导数；如果二元函数仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为z=f（x,y）的二阶偏导数，记作　　　　其中称为混合偏导数，类似地可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数。　　定理3　如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则在D内，即二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关。　　定义6　全微分　设二元函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，当f（x,y）的全增量可以表示为，其中A，B不依赖于，而仅与x,y有关，，则称函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微，称为函数f（x,y）在点（x,y）处的全微分，记作　　定理4　若函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微，则必在（x,y）处连续。　　定理5　可微的必要条件 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微，则该函数在点（x,y）处的两个偏导数都存在，且。又对于自变量x,y有　　定理6　可微的充分条件 如果函数z=f（x,y）的偏导数连续，则函数在该点可微。　　偏导数的几何意义：设有二元函数在几何上分别表示曲线的切线对x轴和对y轴的斜率。　　【考点七十一】（1）求二元函数的极限值时，一般应用两边夹定理或化为一元函数的极限进行求解。　　（2）当点P(x,y)沿着不同的路径趋于点时，若函数f（x,y）的极限值不同，则二重极限不存在。　　二元函数极限： 　　1.二重极限：　　 　　 　　2.二次极限　　　　【例1】求下列二重极限：　　（1）　　[答疑编号对该题提问]　　令t=xy　　　　（2）　　[答疑编号对该题提问]　　　　 　　（3）　　[答疑编号对该题提问]　　令y=kx　　　　　 　　不存在　　【考点七十二】多元函数连续、偏导数存在与可微之间的关系：　　可微偏导数存在，但偏导数存在。　　可微连续，但连续，连续偏导数存在。　　若一阶偏导数连续，则可微。　　【例2】考虑二元函数f（x,y）的下面4条性质：　　①　　②　　③　　④的两个偏导数存在。　　若用“”表示可由性质P推出性质Q，则有（　）　　（A）②③①　　（B）③②①　　（C）③