等比数列错位相减法的应用等比数列错位相减法的应用.doc

高一数学 等比数列的前n项的和(2) 同学们 大家好 上节课讲的等比数列 前n项和公式的推导 大家还记得吗 首先等比数列的前n项和公式 应该是这样的一个表达式 当q不得1的时候 是1减q分之a 乘以(1－q ) 当q得1的时候就是n倍的a 另外在推导这个公式的时候 我们用到了一种特殊的办法 叫错位相减法 我们来复习一下推导过程 开始的时候 我们先把等比数列分成两大类 当q得1的时候 这个等比数列就是常数列 每项都相等 因此其前n项和S 就是n倍的a 那么当q不得1的时候 我们使用了一种特殊的 数列求和的方法 就是错位相减法 那么首先应该先写出 S 是a 加上a q加上a q 一直加 加到a 乘q 两边乘以等比数列的公比q 就得到q倍的S 等于a q加上a q 加上a q 一直加 加到a 乘q 这两个式子 下边一个式子的第1项 就是上边式子的第2项 下边式子的第2项 就是上边的第3项 我们会发现这两个式子错位相等的 因此我们把这两个式子相减 大多数项就可以消掉了 等号左边是(1－q)倍的S 等号右边第①式上式只剩首项a 下边这个式子只剩最后一项 a 乘q 当然它是要被减去的 这时候q不得1 我们就把1减q除过来 于是就得到了 等比数列的前n项和公式 错位相减法是处理与等比数列求和 相关问题的常用办法 这节课我们就来看一看 错位相减法还能解决哪些问题 先看一道例题 求数列2 4乘3 6乘3的平方 2n乘以3 n属于N﹡ 就是非0的自然数 求这个数列的前n项和S 这个数列既不是等差数列 也不是等比数列 那么如何去求和呢 我们再好好看一看这个数列 虽然它本身不等差也不等比 但是这个数列的每一项 我们把它的 每一项第一个因数拿出来 那就是2 4 6一直到2n 这是不是一个公差为2的等差数列 我们再把这数列 每一项的第二个因数拿出来 那就是1 3 32 一直到3 这是不是就是一个首项为1 公比为3的等比数列呢 那么实际上这个数列 就是由等差数列2n的每一项 和等比数列3 的 相应项的乘积构成的 那么又要对这个数列求和 又和等比数列有关系 所以我们就考虑到 利用错位相减法来处理 我们来看具体的解答过程 因为S 是2加上4乘3 加上6乘32一直加 加到2n乘以3 那么它的前一项 就应该是把n都换成n减1的时候 也就是2(n－1)乘以3 我们应该前边写3项 后边写2项 一共写出5项来 为什么呢 这样便于我们去寻找规律 然后我们用等比成分的公比q 也就是3去乘以①式的两边就会得到 3倍的S 等于2乘以3 加上4乘以32 加上6乘以3 一直加 加到2(n－1)乘以3 最后一项是2n乘以3 把这个式子称为②式 下面我们就把①式和②式错位相减 也就是①减② 那么等号左边就是负2倍的S 等号右边我们就把3的指数 一样的这样两项相减 并且把3的多少次方都提出来 那就会得到2 这个2没有人和它配对 它自己写 加上(4－2)乘以3 加上(6－4)乘以32 加上(8－6)乘以3 一直加 加到2n减去2(n－1)乘以3 最后一项是要被减去的 减去2n乘以3 我们会发现减完之后 每个括号里边的差都相等 其实这个差是什么呢 就是这个等差数列2n的公差2 所以我们就会得到 负2倍S 是2加上2乘3 加上2乘32 加上2乘3 一直加 加到2乘3 最后减去2n乘以3 那么这个式子再往下处理 我想不用我说大家也能看出来了 等号右边的前半部分 这是一个等比数列 我们可以利用 等比数列的求和公式来处理 然后把负2除过来 S 的表达式就找到了 把2提出来首先 得到1加3加3 加3 一直加 加到3 后边还是减去2n乘3 然后2不动 括号里边是一个公比为3的等比列 所以它的和应该是 (1－3)分之(1－3 ) 为什么是n次方呢 因为括号里边1是3 从0一直到n减1 所以一共是n项 因此应该写成3 那么进一步整理就会得到 3 减1再减去2n乘以3 我们把负2除过来 S 的表达式就找到了 它最后是这样的 2分之(2n－1)乘以3 再加上2分之1 那么这道题告诉我们 大家在学习数学的定理 公式的时候 要特别注意这些方面的推导 我们应该把它的推导过程 思想方法 融到自己的脑海里 自觉运用到解题中去 第二个要注意的就是 在遇到形如{a ×b } 构成每一项的数列 其中a 就是一个等差列 b 是个等比列 只要是这样的数列 我们都可以利用错位相减法来处理 但是在处理的时候 大家应该前边写出3项 后边写2项 这样便于我们找规律 希望大家注意 我们再看下边一个练习 求数列2n分之(2n－1) n属于N﹡的前n项和S 处理这个问题 我们首先应该写出它的前n项和 看看到底是什么 S 是这样的 2分之1 第2项是 22分之3 第3项是 2 分之5 把它们加在一起一直加 加到2 分之(2