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第6章 間斷隨機變數及其常用的機率分配 A.一般練習題 6.1 下列各函數是否符合機率公理： 解 (是。因，且。 (是。因，且。 (非。因，不符合機率公理。 (是。因，且。 6.2 若之機率分配函數為： 試求c。試求之累加機率函數。 試求之平均數、中位數、眾數、變異數。 試求，並與柴比氏定理所得的結果做比較。 解 ( ( X 1 3 5 7 f(x) 1/16 3/16 5/16 7/16 F(X) 1/16 4/16 9/16 1 (，中位數，眾數。 ( 由柴氏定理可得，為實際機率的粗略估計。 6.3 若之機率分配為： 試求之累加機率函數。 試求的平均數、眾數、中位數。 試求的值與均數差在1.6範圍之內的機率，並與Chebyshev定理所得之結果做比較。 解 ( ( 眾數；中位數為等於二分之一時的X值，即，或。 (求 若由Chebyshev定理，可得： 其中 Chebyshev只能粗略求算機率下限，因此以Chebyshev定理所求算的結果與真實的機率分配所算出的結果差異甚大。 6.4 有一機率函數為： 0 1 2 3 令，求： 之機率函數。。。 解 (Y之機率函數： Y 1 4 9 16 f(Y) 1/2 1/4 1/8 1/8 ( ( 6.5 設隨機變數，有下列之機率分配： 0 1 2 3 4 P 4P 1P 2P 2P 試求： 值。，，。。。 解 (，解。 ( ( ( 6.6 台北市某路線的公車每班車每趟的載客人數的機率分配如下： 人數 20 30 40 50 60 70 80 90 0.05 0.1 0.1 0.1 0.25 0.25 0.1 0.05 求每一趟載客人數的期望值及變異數。 若每位乘客投幣15元，且表每趟載客的收入，求及。 解 ( ( 6.7 A公司生產的烘乾機每月市場的需求量變化很大。根據過去數年的統計資料，該公司生產的烘乾機每月市場需求的機率分配如下： 需求台數 200 300 400 500 機率 0.1 0.3 0.4 0.2 若該公司每月的生產量等於每月需求量的期望值，則該公司每月生產多少台烘乾機？ 若每台烘乾機的生產成本為3,000元，售價為5,000元，且該公司於上個月賣出340台烘乾機，試問該公司上月份的盈虧為何？ 解 ( 該公司每月生產370台烘乾機 (該公司上個月的成本 該公司上個月的收入 該公司上個月賺了(元) 6.8 全校600人性向測驗的平均數75分，標準差5分，試求： 成績在65分與85分之間約有若干人？ 成績在62.5分與87.5分之間約有若干人？ 解 因此，。 因此，即成績在65分與85分之間者至少有450人；62.5分與87.5分之間者至少有504人。 6.9 郵局每天處理的國際信件中，寄往美、加地區的信件重量的機率分配函數如下（） 信件重量 10 20 30 40 50 機率 0.35 0.25 0.2 0.1 0.1 令與分別表示信件的重量與郵資。郵局的計費方式為：第一個10公克15元，以後每增加10公克加13元。 試求E（X）E（Y）V（X）V（Y） 利用柴比氏定理求一包含60%信件的重量範圍。 解 ， ，。 包含60%信件的重量範圍是2.73~44.27公克。 6.10 某校有學生4,000人，其中400人視力正常，今隨機抽取20人。 其中10人視力正常之機率為何？ 試以二項分配及泊松分配計算機率值。 解 利用超幾何分配，求機率： 利用二項分配，求機率：，(查二項分配機率值表，課本統計表一)。 利用泊松分配，， (查泊松分配機率值表，課本統計表二)。 6.11 一盒中置有黑球5個、白球4個，自其中連續抽取4球，令表抽出黑球的個數，試求的機率函數。 分別呈何種分配？試求的機率函數。 ？、為何？ 解 抽出放回： 抽出不放回： (抽出放回) 抽出放回： 抽出不放回： 6.12 某航空公司飛機每個月發生意外事件之次數為0.2次，試求一年中發生2件意外事件之機率為何？ 解 6.13 若新生嬰兒目盲之機率為萬分之一，試問在某醫院一年新接生的6,000個嬰兒中： 無一盲目者之機率？僅一盲目者之機率？ 至少三盲目者之機率？ 解 因機率很微小，很大，，利用泊松分配求機率值。 B 應用題 6.14 「業務人的統計學簡單的說，“數大就是業績”，業務人應該作到隨時行銷、隨地行銷、處處是業務。世界公認銷售業績最佳的汽車銷售人，開發業務的方式之一是在擠滿了群眾的美式足球場灑名片，也許灑名片的成交機率只有0.1%，但根據統計理論，要是發出1,000張名片就能有一張汽車訂單，車子的平均單價如