第五章隨機變數(r.docVIP

第五章 隨機變數(r.v)與機率分配(p.d) 離散型機率分配之基本性質 設X為離散型隨機變數，f(x)為X的機率分配函數，則 1. 對於X中的每一個x， 2. Ex: 擲銅板兩次，求擲出正面的次數所代表的隨機變數X，機率分配f(x)？ Sol: S = { (正正) (正反) (反正) (反反) } X 0 1 2 f(x) Ex: 袋中有10顆球，7白3紅。以抽出放回方式抽3次，令X表3次中抽中白球之次數。求X之可能值與對應結果、X之p.d. Sol: S = { (紅紅紅) (紅紅白) (紅白紅) (白紅紅) (紅白白) (白紅白) (白白紅) (白白白) } X 0 1 2 3 f(x) 0.027 0.189 0.441 0.343 離散隨機變數X的期望值： 令X為離散隨機變數，f(x)為其機率分配函數，則X之函數g(X)的期望值為： 離散隨機變數X的變異數： 變異數簡化公式： Ex: 若間斷隨機變數之機率分配如下表，求期望值與變異數。 設g(x) = x2 ，求E[g(x)]。 X 0 1 2 3 X2 0 1 4 9 f(x) Sol: 期望值的性質： 當g(x) = ax + b時，E[g(x)] = E[(ax + b)] = aE(x) + b 當X，Y為任意兩個隨機變數時 E(X + Y) = E(X) + E(Y)，E(X – Y) = E(X) – E(Y) 當X，Y互為獨立隨機變數時 E(XY) = E(X) × E(Y) 變異數的性質： 當g(x) = ax + b時，V[g(x)] = V[(ax + b)] = a2V(x) 當X，Y互為獨立隨機變數時 V(X + Y) = V(X) + V(Y)，V(X – Y) = V(X) – V(Y) 證明1. E(ax + b) = a × E(x) + b 證明2. V(ax + b) = a2V(x) 習題2. 隨機變數X的機率分配如下表： X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 f(x) 0.2 0.4 0.3 0.05 0.05 求期望值、變異數、P(X≧3)、P(1X≦3) Sol: E(x) = 0*0.2+1*0.4+2*0.3+3*0.05+4*0.05 = 1.35 V(x) = (0*0.2 + 1*0.4 +4*0.3+9*0.05+16*0.05) – (1.35)2 = 1.0275 P(X≧3) = 0.05 + 0.05 = 0.1 P(1X≦3) = 0.3 + 0.05 = 0.35 習題3. 三題選擇題，1為5選1，2為4選1，3為3選1，X表示隨機猜對的題數。求X之全部可能值，機率分配、P(X≧2) Sol: S = {(xxx) (xxo) (xox) (oxx) (xoo) (oxo) (oox) (ooo)} X 0 1 2 3 f(x) P(X≧2) = + = 習題4. 顧客使用信用卡消費之百分比為70%。現有三位顧客剛結帳，設X為三位顧客中使用信用卡結帳的人數。求X的機率分配、P(X≧1)。 Sol: S = {(xxx) (xxo) (xox) (oxx) (xoo) (oxo) (oox) (ooo)} X 0 1 2 3 f(x) 0.027 0.189 0.441 0.343 P(X≧1) = 0.189 + 0.441 + 0.343 = 0.973 習題8. 隨機變數X的間斷機率分配如下表： X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 f(x) 0.2 0.3 0.3 0.15 0.05 求P(X≧2)、P(1≦X≦3)、E(X)、V(X) P(X≧2) = 0.3 + 0.15 + 0.05 = 0.5 P(1≦X≦3) = 0.3 + 0.3 +0.15 = 0.75 E(X) = 0*0.2 + 1*0.3 + 2*0.3 + 3*0.15 + 4*0.05 = 1.55 V(X) = (0*0.2 + 1*0.3 + 4*0.3 + 9*0.15 + 16*0.05) – (1.55)2 = 1.2475 第六章 離散型機率分配 離散均勻分配：X～U(n) 伯努利實驗：X～B(1, P) 實驗只試一次，結果只有兩種 二項實驗：X～B(n, P) 實驗試行n次，結果只有兩種 超幾何分配：X～H(N, n, K) 超幾何vs二項分配： 當X～H(N, n, K)，，則可用二項分配來逼近→X～B(n, ) 習題1. 若X～B(n, P), 查表求機率 n = 4, P = 0.1, P(X=