分数阶微分方程数值解的一种逼近方法分析.doc

分数微分方程 By:Pankaj Kumar, Om Prakash Agrawal 摘要 本文提出了一类分数微分方程的数值解方案在这种方法中,FDE分数导数分数导数分数微分方程,许多研究Volterra型积分方程的数值方法也可以应用于FDEs的数值解本文总时间为一组,在两个连续区间中，用二次项式这些近似,线性和非线性. 用这里给出的方法得到的解能与解析解和其他方法的数值解较好的吻合. 同时结果说明这种数值方法是稳定的. 1.引言 本文讨论分数微分方程Bagley 和Torvik提出了这个领域已经被研究的工作的一个回顾，并且说明了半阶导数模型可以非常好地描述阻尼材料的频率以来. 另一些学者说明了分数Mainardi，Rossikhin和Shitikova提出了分数阶导数和分数阶积分在一般固体力学，特定粘弹性阻尼模型中的应用的调查. Magin提出了分数阶微积分在生物工程的三个关键部分的回顾. 分数阶导数和分数阶积分在其他领域的应用以及相关的数学工具和技巧还可以在许多其他文献上找到. 系统模型中分数阶导数的引进大多会导致分数微分方程Laguerre积分公式的方法. 然而，这些方法中大多数不能被应用到非线性分数微分方程Diethelm等人指出的，这些方法很多只能应用到特定类型的分数微分方程 最近，对于能被应用到线性和非线性分数微分方程分数微分方程分数微分方程Diethelm等人提出了分数微分方程PECE方法，其中P,C,E分别代表预测，校正和估计. 这样一来很多学者又推广了应用于常微分方程和分数微分方程Adams–Bashforth–Moulton型预测-校正格式. 这种方法的提出也是利用分数微分方程Ford和Simpson提出了一种阶数大于1的分数微分方程分数微分方程分数微分方程Kumar and Agrawal提出了阶数大于1的分数微分方程(t)和它的导数在时间节点上连续. 本文基于古典分数微分方程分数微分方程分数微分方程 2.数值算法 关于分数阶导数的定义已经出现有好几种，它们包括Riemann–Liouville, Grun-wald–Letnikov, Weyl, Caputo, Marchaud,和Riesz分数阶导数. 这里，我们规定使用Caputo导数. 其中，Caputo导数的定义是 , (n-1αn), (1) 其中，α是导数的阶数，n是比α大的最小的整数. 式(1)早在19世纪就在Liouville的论文中被提出，在Caputo的论文发表前一年它被Rabotnov所 然而，在文献中，被（1）式所定义的分数阶导数作为 在接下来的讨论中，我们考虑含有Caputo导数的初值问题: (2) 在初始条件： , k=0,1,...,n-1, (3) 下的解，其中，f是任意函数，是y的k阶导数，，k=0,1,…,n-1是指定初值条件. 假设这个函数关于参数和积分区间都是连续的，并且对于它的第二个参数满足Lipschitz条件. 在纯数学中，Riemann–Liouville导数比Caputo导数应用更加广泛. 然而，这里考虑Caputo导数是因为以Riemann–Liouville导数为基础的分数微分方程(t)在t=0点的导数和积分为0.一般来说，这些条件的物理意义不是已知的，并且在实际应用中，他们是不可用的. Lorenzo and Hartley讨论了寻找在更一般的情况满足下初始条件的正确格式的问题. 在Diethelm and Ford的文章中，方程(2)和(3)被证明可以等价描述为: , (4) 其中g(t)为: . (5) 为了解释以二次多项式为基础的数值方法，我们假设我要求的是由(2)式定义的分数微分方程T等分成N份，令h=T/N，作为时间区间的每一个部分. 时间在网格点上被表示为. 同时假设y(t)的数值逼近值被网格点所决定. 该方法的基本思想是在相邻的两个时间节点和上数值地获取函数y(t)的值，然后重复这个过程来接近所求积分直到取到终点T. 为了便于接下来的讨论，我们规定如下记号: , , 这里的方法需要对方程(4)每一步求两次积分值. 这里有两种方法来达成目的.第一种,用一些近似函数逼近y(t)，然后用一种数值方法确定式(4)的积分值.这里需要在未知积分的情况下对和作初始的估计. 第二种, 都用近似函数来显式地逼近y(t)和f(t,y(t))以及确定式(4)的积分. 注意在这种情况下，和会作为参数出现在函数f当中. 本文利用的是第二种逼近方法. 现在，我们给出算法的详细思路. 首先我们需要确定y(t)，，的值. 用二次插值函数可以在区间[0，]上逼近y(t