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环球城市数学竞赛 2000春季赛 初中组　高级卷解析 试求方程式 的所有实数解。(三分) 小淳：我用公式，则 若，矛盾。 或 又无解 ，代入原式符合。 小地：我先提出，再用公式 ∴ 若，矛盾。 或 又无解 ，代入原式符合。 小君：我先把2项，2项地结合起来 任意实数的偶次方均大于等于0。令 如果，则; 如果，则。 ，代入原式 成立。 夌设梯形的上底与下底的长度都是整数，试证：这个梯形可以分割为若干个全等的三角形。(三分) 小淳：我会画！例如上底长是3，上底长是4。那么我就如图1a所示，把梯形分割全等的三角形。 小地：不对，你只是分割一个特殊的梯形。我知道边长为整数的正方形、长方形或等腰直角三角形一定可以被分割成全等三角形(如图1b)。但是这题我不会。 小君：这题我会，其实你已经快作出答案了，你再仔细瞧瞧图，如果它不是长方形而是平行四边形呢？ 小地：那一样可以。您看，我用GSP(动态几何画板)的软件在计算机上画出上图，我只要拖动长方形的一顶点就变成平行四边形了，可以清楚看出它可以被分割成许多全等的三角形。 小君：如果每一个小平形四边形格子的长、宽不同长度呢？ 小地：嗯……，那也可以。喔！我会啦！在计算机上拖动自由点就可以了。设梯形上底长为，下底长为(如图1c)，过点作的并行线。且交于，因为长度为。所以我在取的等分点过这些点作的并行线，另外在上找等分点，过这些等分点作的并行线。(如图1c)就完成了。 小君：非常好，可是你别忘了要证明这些三角形都是全等的。否则被扣分就划不来了。 小地：我差点忘了。因为平行四边形(如图1d)。与，与是二对内错角所以它们都互相相等。是公用边。由ASA定理。图1c中的三角形都是全等平行四边形中的右上三角形(三角形或者左下三角形(三角形，所以它们都全等。 奅给定一个圆盘及内部一点 , 求所有可能形成矩形中之顶点的轨迹，其中和点在圆盘的边上？(注：顶点和是变动的) (六分) (i)令圆的半径为，圆心为。 如果点是在圆心上，则。所以的轨迹是以为圆心。半径为的圆。 (ii)若点不在圆心上，则过圆心作直线平行，延长与的交点为，延长与的交点为。则 又为长方形(四个角都是直角) 又 (定数) 点的轨迹为以圆为圆心，为半径的圆。 妵强盗甲及强盗乙二人要分抢来的100个金币，他们分赃的方法如下：每次由强盗甲抓一把金币，并如实地报出金币的数量，然后由强盗乙决定这一把金币归谁所有，这样继续下去，直到当中有一人得九次为止，所剩的金币归另一人所有(依照这样的分法也有可能没人分到九次，金币就分完了)，强盗甲每次可按照自己的策略抓取若干个金币。无论强盗乙如何决定，问强盗甲保证最多可以得到几个金币 (除写出答案外，请详述强盗甲之策略，并证明他无法保证得到更多)？(七分) 强盗乙的策略：只要强盗甲抓金币的个数6，则强盗乙就分配给自己，否则分配给强盗甲。在上述强盗乙的策略下强盗甲可分得的金币： (i)如果先分配给强盗乙9次，则强盗乙至少可分到个金币。 (ii)如果先分配给强盗甲9次，则强盗甲至多分到个金币。所以强盗甲最多分到不超过46个金币。 强盗甲的策略：甲抓16次6个金币，1次4个金币，在强盗甲策略下 (i)如果先分配给强盗乙9次，则强盗乙至多分到个金币。 (ii)如果先分配给强盗甲9次，则强盗甲至少分到个金币。 所以强盗甲最少分到46个金币。 (5)在的棋盘上，最多可以放置多少个西洋棋的“骑士”，使得每只棋子都恰可攻击其它二个“骑士” (请绘出其配置图，在符合题目所给条件下，试证：不可能放置更多的“骑士”) ？(注：骑士在棋盘上可攻击的位置为横二纵一或横一纵二的位置。) (七分) (本解答为永吉国中一年级黄绍伦之解答；该解答荣获国中组最佳解题奖) 答：最多可放置16个，配置图如图(一) 证明：首先将棋盘涂成黑白相间，如图(二)，由图可看出在黑点的骑士只能攻击白点的骑士，在白点的骑士只能攻击在黑点的骑士。设在黑点的骑士有个，由一个骑士可攻两个骑士知被攻击的白点有个，但每个白点的骑士可攻两人，即被两人攻击，故白点有个。即在黑点的骑士数等于在白点的骑士数。 假如角落有骑士，如图(三)，颢然、的位置必有骑士，当、有骑士时，图中标识Δ的点就可能有骑士，但、已与有关，故9个标识Δ的位置中最多只有两个骑士，其余7个不能有骑士，即7个黑点没有骑士，有骑士的黑点最多为13-7=6个，又白点 = 黑点，故所有骑士最多为。 假设中心点有骑士，如图(四)，则所有标识Δ的位置都可能有骑士，但只能与两个骑士有关，故Δ中有8-2=6个点没有骑士，有骑士的白点至多为12-6=6，又白点 = 黑点，所有骑士至多为。 由(1)(2)可知角落与中心点如果有骑士，则所有骑士数小于16，因此四个角落与中