Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理..doc

空间中常微分方程解的存在唯一性定理 魏婷婷 (天水师范学院 数学与统计学院,甘肃,天水,741000) 摘要: 在空间中, 常微分方程解的存在唯一性定理中,初值问题的解的变量在上变化,把的变化范围扩大为,为此给出变化范围后的空间中常微分方程解的存在唯一性定理,并对定理给予明确的证明. 关键词: 存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;空间 引言 常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小, 只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为,还需满足,且解只在以为中心以为半径的闭球存在唯一,其中是空间)因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围,从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用. 1 预备定理 我们给出空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下 设是空间, 是一个开集. 上关于满足利普希茨条件,即存在常数,使得不等式,对于所有都成立.取,在内,以为中心作一个半径为的闭球,对所有的都成立,且有,取,则存在唯一的曲线,使得在上满足,并有,. 2 结果与证明 笔者通过改进对的限制,即仅取,预备定理仍然成立,从而使定理的应用进一步广泛. 2.1改进条件后的定理 定理 假设条件同上预备定理,设初值为,则存在唯一的曲线,对任意的,满足,且使得,.显然可有 ,且. 2.2定理的证明 证明 证明过程中我们利用皮卡逐步逼近法.为了简单起见,只就区间进行讨论,对于区间的讨论完全一样. 2.2.1定理证明的思想 现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的主要思想. 首先证明条件,等价于求积分方程 . (1) 再证明积分方程的解的存在唯一性. 任取一个为连续函数,将它代入方程(1)的右端,可得到函数,显然,也为连续函数.若,则可知就是方程(1)的解.若不然,我们又把代入积分方程(1)的右端,可得到函数.若,则可知就是方程(1)的解.若不然,我们如此下去,可作连续函数, . (2) 这样就得到连续函数列 若,那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数,即存在,因而对(2)式两边取极限时,就得到 , 即,这就是说,是积分方程的解.在定理的假设条件下,以上的步骤是可以实现的. 2.2.2定理证明的步骤 下面我们分五个命题来证明定理. 命题1 设是的定义于区间上,满足初值条件 (3) 的解,则是积分方程定义于上的连续解,反之亦然. 证明 因为是方程的解,故有 . 对上式两边从到取定积分得到 ,, 把(3)式代入上式,即有 ,. (4) 因此, 是(4)的定义于上的连续解. 反之,如果是(4)的连续解, ,. 微分之,得到 . 又把代入(4)式,得到,因此, 是方程的定义于区间,且满足初值条件(3)的解.命题1证毕. 现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下 (5) 命题2 对于所有的,(5)中函数在上有定义,连续且满足不等式. 证明 用数学归纳法可以证明,如下 ,对于任意,, 当时, ,显然在上有定义,连续且有 . 设当时有,也即在上有定义,连续且满足不等式,这时 . 由假设,命题2当时成立,则可知在上有定义,连续且有当时 , 即命题2当时也成立,从而得知命题2对于所有的均成立.命题2证毕. 命题3 函数序列在上是一致收敛的. 证明 我们考虑级数 ,, (6) (6)式级数的部分和为,因此,要证明函数序列在上一致收敛,我们仅证明级数(6)在上一致收敛.因此,我们可进行如下计算,由 , (7)及,利用利普希茨条件及(7)式可知 对于任意的为正整数,不等式成立. 则由利普希茨条件,当时,有 为此,由数学归纳法可知,对于所有的正整数,可有如下的式子成立, ,. 因此可有,当 , (8) (8)式右端为收敛的正项级数的一般项. 由魏尔斯特拉斯判别法,级数(6)在上是一致收敛的,因此序列也在上一致收敛,