Boltzmann方程与输运现象..doc

Blotzmann方程及其应用 Blotzmann方程 （1）即 （2） 静态电阻率 在均匀静电场下，对于均匀材料，分布函数只与有关，（2）式变为： （3） 在低场下，，作为近似， 则 （4） 电流密度： （5） 设样品各项同性： 所以， （6） 其中，为电场强度方向单位矢量，在各项同性的假设下，并且，样品温度远小于费米温度，,在这种情况下： （7） 所以： （8） （（8）式利用：，并且） 电导率随频率和波矢的变化 外加电场为交变场：，并设 从Boltzmann方程出发，经过适当近似后： （9） 设，并代入上式解得： （10） 同前面的方法类似： （11） 设样品各向同性： （12） 从上式不难看出，当（长波近似）和（静态）时， 由于电磁波为横波，设，，代入（12）： （13） 利用，在球坐标下： （14） 令； （15） 其中 所以， （16） 极限情况： ， ，正常区； ，称为极端反常区； 4 在电场和温度梯度下的Boltzmann方程 在存在温度梯度时， 化学势 局域平衡分布函数 Boltzmann方程在近似下为： （17） 其中： （18） 因此， (19) 分别代入电流密度和能流密度表达式： （20） （21） 其中、和称为动理系数，动理系数（n=0,1,2）的普遍表达式为： (22) 定义广义电导率： （23） （24） 利用： 得到： （24） 将（24）式各项分别代入（20）、（21）并经整理： （25） 其中： 称为Seebeck系数； （26） 并且 5 相关现象的讨论 漂移电流与扩散电流 在样品温度均匀，但存在浓度梯度的情况下，（25）变为： （27） 上式由两个部分组成，其中漂移电流，扩散电流，对于金属导带，迁移率，化学势，因而；（27）式改写为： （28） D为扩散系数： （29） 对于非简并半导体情形，则有，所以： （30） （29）和（30）针对简并和非简并电子气体，描述了扩散系数和迁移率的关系，称为爱因斯坦关系。 金属中电子的热导率 如图1所示，由（26）式，，因此能流密度由温度梯度产生： 且 （31） 在自由电子模型下，，称为Lorentz数 Seebeck效应与热电势 Metal B T1 T2 T0= T3 Metal A Metal A 图2 由两种金属组成的开环电路，两个结和温度不同（） 如图2所示，，由（25）式：，当两个结保持在不同的温度时，和两端的电势差为： （33） 因为， 所以： 得到： （34） Thomson效应 当电流通过一个具有温度梯度的均匀材料时，单位截面单位时间释放或吸收的热量与通过的电流密度大小成比列关系，并且因子与材料性质有关。 如图3所示，设圆柱体截面积为dS，，AB两端的能流密度分别为： 在圆柱体内，dt时间所产生的热量：，这里dU是两端的能流密度差引起的，而是dt内电场所做的功，所以： ，并且： （35） （36） 所以： 经整理： （37） 定义Thomson系数：，得到： （38） Peltier效应 Metal B A A 图4 Peltier效应电路示意图 图4中两种金属形成闭路，在等温条件下，电路中的电流密度为J，两种金属连接处，吸收或释放的热量为： （39） 利用（37）式证明：在温度不变时： 定义Peltier系数： （40）  1 T1 T0 Heat Heat Source sink 图1 均匀棒材，两端