毕业设计论文-常微分一阶微分方程最基本两种类型.docVIP

目 录 摘 要 1 1.一阶微分方程的几种类型及其解法 2 2.一阶微分方程的基本解法 3 2.1变量变换法 3 2.1.1齐次微分方程 3 2.1.2可化为齐次方程的方程 4 2.1.3伯努利微分方程 5 2.1.4里卡蒂（Riccati）微分方程 6 2.2积分因子法 7 2.2.1 恰当微分方程（全微分方程） 7 2.2.2 积分因子法 8 3.一阶微分方程的其他解法 10 3.1常数变易法 10 3.2降阶法 10 3.3参数法 12 小结： 13 参考文献: 13 致谢词: 13  摘 要 本文首先介绍一阶微分方程的最基本的两种类型:可分离变量的微分方程、一阶线性非齐次微分方程的解法.其次介绍了变量变换法.许多一阶微分方程通过变量变换可化为上述基本类型的方程得到解决.再次介绍了恰当微分方程及其求解公式,通过积分因子法可将一些微分方程化为恰当微分方程进而得到解决.最后针对一些特殊类型的一阶微分方程介绍了常数变易法法法This paper first introduces first-order differential equation of the most basic two types: separable variables of the ordinary differential equations, first-order nonhomogeneous linear differential equation solution. Secondly introduces variable transformation method. Many first-order differential equation by means of variable transformation can be translated into the basic types of equations solved. Once again introduces appropriate differential equation and solution formula by integral factor method, can be some differential equation into appropriate differential equation and solved. Finally based on some special types of first-order differential equation introduces delay.a new, the reduced order method, parameters method. 【KEY-WORDS】 first-order differential equationvariable transformation method the integral factor method 1.一阶微分方程的几种类型及其解法 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示.现在先简要介绍一下一阶微分方程的一些基本类型及其基本解法： ⑴可分离变量的微分方程：形如 ,其中为连续函数 解法：①分离变量,即 ②两边积分,即可求得通解， ③化简,整理,即可. 可以说只要是可分离变量的微分方程,都可求解. 例1 求解方程,. 解：方程可变量分离为 积分得 这里为任意常数, 上式可化为 ,其中. 因方程还有特解,并考虑到条件, 于是方程的通解为 . ⑵一阶线性非齐次微分方程 解法：方程的通解公式： 　　　y=C(x) =[+C] （常数变易法） ⑶恰当微分方程 解法：方程的通解为 ,为任意常数 ⑷里卡蒂方程 解法：当能够找到方程的一个特解,在经过变换后方程就变为伯努利方程,因而可解. 2.一阶微分方程的基本解法 一阶微分方程解法主要有变量法,，为连续函数. 解法：令, 即 . 于是,有 代入,便得方程 即 分离变量,得,两边积分,得 求出积分后,再用代,便得所给方程的通解. 齐次微分方程可看作一个基本类型,只要能判断这个方程是齐次微分方程,就可利用上述变换将方程变换为可分离变量的微分方程,进而得到解决. 例2 求微分方程的通解. 解:原方程可化为= ,这是一个齐次微分方程, 故可 令,即.则 于是方程变为 这是一个可分离变量的微分方程,分离变量得 , 两边积分,得 , 以代入,得所给方程的通解为 . 2.1.2可化为齐次方程的方程 方