(蒙特卡罗方法简介.ppt

iii)重要抽样法 由重要抽样法的思想，需选择一个与 相似的密度函数。由Taylor展开式 取 1)产生随机数 2) 取 则 （数值计算） 真值 1.71828 投点法 1.8756 均值法 1.8145 重要抽样法 1.7219 模拟结果 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、分层抽样法 另一种利用贡献率大小来降低估计方差的方法是分层抽样法。它首先把样本空间D分成一些不交的小区间 ，然后在各小区间内的抽样数由其贡献大小决定。即，定义 ，则Di内的抽样数ni应与pi成正比。 考虑积分 将[0,1]分成m个小区间： 则 记 为第i个小区间的长度，i=1,…,m.在每个小区间上的积分值可用均值法估计出来，然后将其相加即可给出θ的一个估计。具体步骤为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1) 独立产生U(0,1)随机数 2)计算 3) 计算 于是可得θ的估计为 (2.5.4) 易见， 是θ的无偏估计，其方差为 (2.5.5) (2.5.6) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 续例2.5.1 考察分层抽样法求积分 的方差。 解：先将区间[0,1]划分成两个小区间[0,0.5],[0.5,1],则 设一共抽n个随机数，其中在[0,0.5)上抽n1个，则使用分层抽样法求得 的方差为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对n1求导易知，在n固定下，当 时 的方差最小，为 如果我们将区间进行10等份，并确定出最优的抽样次数分配： ，则可得到分层抽样法估计的方差为. 一般地，若诸 已知，在n固定下，当 时，估计的方差最小，为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 分层抽样法在实施上有两个主要问题，其一是怎样划分区间，简单而常用的方法是将区间等分；另一个问题是在区间划分好后如何确定抽样次数的分配。由于在实际中 总是未知的，因而前面最优分配的结论无法应用。即使如此，分层抽样法还是有其作用的。可以证明，即使取简单的分配 也有 事实上，取 ，代入(2.5.5)得 由Cauchy-Schwarz不等式，有 据此，在(2.5.6)式两端各乘以 并相加得 于是 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三、关联抽样法 考虑积分差 若用 估计θ，则其方差为 显然，在 确定后， 正相关度越高，则 的方差越小。这便是关联抽样法的基本出发点。 考虑用重要抽样法来估计I1,I2,即改写θ为 产生n个U(0,1)随机数 ；令 则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第三章 数据添加算法