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伯努利（Bernoulli）方程的求解研究 朱升军 （宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013） 摘 要： 通过对伯努利（Bernoulli）方程的常规的解法进行进一步的探讨，总结出使求解过程简化的具体做法.通过几种不同的解法从而更深了解和掌握伯努利（Bernoulli）方程. 关键词 ：伯努利方程;常数变易法;分离变量法;一阶线性微分方程；恰当方程 1 引言 形如 的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程.这里、为的连续函数，、是常数.它是一个应用较广的微分方程，它的解法也比较多，下面我们介绍它的几种不同的解法. 2 常数变易法 方程可写成 我们先解出齐次方程 的解，即 对两边同时求积分得 即 其中为常数 把的解中的常数变易为函数，即 假如是的解，则 , 整理得 , 解得 , 即 , 伯努利方程的通解为 . 此外方程还有解. 例1 求方程的通解. 解 方程对应的齐次方程为. 当时，有变量分离法得通解为,设原方程的通解为,微分得 把上式代入原方程并两边微分 得,即 , 代入所设的通解中得原方程的通解为 此外，也是方程的解. 上列举出了伯努利方程中存在的解，但有的方程中则不存在. 如，将其化简在化为齐次方程得 求得通解为. 常数变易为，代入原方程得 即，解得. 所以原方程的通解为 . 此方程得通解中虽然包含有的情况，但代回原式就不成立了，因为原式中就隐含有的情况. 3 转化成一阶线性微分方程 在方程中令,从而 代入得 解方程得 而，即 为伯努利方程的通解，此外还有解. 例2 求方程的通解. 解 这是时的伯努利方程，令，算得 代入原方程得到 这是线性方程，求得它的通解为 代回原来的变量，得到 或者 这就是原方程的通解，此外方程还有解. 4 化为恰当方程 在方程两端同时乘以得 对式进行整理得 其中记 这样记为的积分因子，把乘以的左右两端得 ， 整理得 ， 对左右两端凑微分得 ， 两端同时积分化简得 ， 由以上可以看出是的积分因子，而是由两端乘以得到的，所以的积分因子为=，即 因此，在求的通解时可直接使用积分因子. 例3 求上例的通解 解 该方程为伯努利方程，两边同乘以得 即 其中 . 所以该方程的积分因子为 ， 用乘以的两边得 ， 凑微分得 即或者. 此外也是该方程的解. 5 微积分法 定理〔4〕 设、是两个可积函数，则伯努利方程的通解是，其中是方程 的通解. 证明 由得 代入伯努利方程整理得 积分得 这就是所要满足的方程. 例4 解微分方程 解 原方程中的 则设原方程的解为 则 代入原方程得 积分得从而原方程的解为 . 最后指出，一般的一阶微分方程不一定都能用初等解法来解.下面介绍一种方程就是这样，而且是经过证明的. 形如 的方程叫Riccati方程，右端是的二次式，，，是的连续函数. 设方程的一个特解为，这时利用变换可以求出方程的所有解.令,于是由方程，有 = 因为是方程的解，所以有 代入上式得到 这是Bernoulli方程，可解出该方程的解，从而为方程的所有解. 然而求方程的一个特解，并没有一个统一的方法，只能凭观察等方法找到. 致谢：本论文在写作过程中的到冯录祥老师的大力指导，在此表示衷心的感谢. 参考文献： ［1］ 王高雄，周之铭，朱思铭，王涛松.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，1983. ［2］ 时空，皇朝炎.微分方程基础及其应用［M］.北京：科