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2016初中历史新教材 新教材中向量的魅力 新教材中“向量”的魅力 浙江省湖州中学 张根荣（313000） 新教材中的向量是新增的内容，是我们所熟知的代数内容，它是沟通数和形内在联系的有力工具。在几何学中，把几何图形看作是点的集合，而点可以与其向径一一对应。因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合。这样，几何中所涉及的度量关系和位置关系，都可以转化为某种向量代数的运算。这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法有其独特的魅力： 1、用向量法解题 用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，因此使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。这是因为向量具有多方面的特性：向量的起点可以任意选择；同时对向量可以进行线性运算、数量积和向量积，并且向量既有有向线段表达式又有坐标表达式，任一空间向量都可以在三个不共面向量（包括三个互相垂直的向量）上分解，同样对于平面上的任一向量，也均可在两个不共线的向量上进行分解。这样就可使得空间的几何结构数量化了。另外向量运算的定义与运算的规律，是和坐标系的选择无关的。所以向量法证几何题明显优越于解析法。因此，所有向量的这些特性，决定了向量代数知识在解答几何问题上，具有突出的简化作用和广泛的适用范围，是我们解中学几何题的捷径。 利用向量法解中学几何题的方法是多种多样的，但我们有一般规律可循： 1.1证线段相等问题 用向量法证明线段的相等问题过程较为简明，基本思路是证明向量的模或模的平方相等。也就是说，欲证两线段AB?CD，可设法证明?。 例1 ?ABC的中线AA1和BB1相等，求证： AC?BC. 22 证明： 设AA1?a,BB1?b,AC?c,BC?d， ? c?a?11d , d?b?c ? ?? 2222 ?? 两边平方，整理可得?， 故AC?BC。 此证法是运用向量知识，经过简单的运算就可得到答案，书写也很方便。如果用几何证法，需添设辅助线，解题的思路较为曲折，不易表达清楚，下面给出一般的几何证法，以资比较。 证明：连接A1B1，过A1，B1作AB的垂线，垂足为A2，B2。 ∵A1、B1分别是BC、AC的中点， ∴A1B1//AB ∴A1A2?B1B2 又∵AA1?BB1且?A1A2A??B1B2B?90?， ∴Rt??A1A2A≌Rt??B1B2B， ∴?A1AB??B1BA而AA1?BB1，AB?BA， ∴?A1AB≌?B1BA， ∴A1B?B1A， 即2A1B?2B1A， ∴AC?BC。 1.2 证两角相等问题 对共面二直线所成角?的考察，可在此直线上适当设置向量a、b，就把原问题转化为对向量a、b间夹角?的考察，这正是我们所要利用的证题思想。 例2 已知在正三角形ABC中， AD?BE?CF,AE,BF,CD相交于M,H,G。 求证：?HMG为正三角形。 证明：设?ma0,?mb0,?mc0,?na0,?nb0, AD?nc0 其中a0、b0、c0均为单位向量，m、n为正实数。 ∵???ma0?nb0 ?m2?mn?n2 又????nc0?mb0 ?m2?mn?n2 ?? 而???ma0?nb0nc0?mb0= ∴cos?HMG?????12m?mn?n2, 2???1 2 ∴?HMG?60? 同理可得?GHN??MGH?60? 故?HMG正三角形。 1.3求图形面积问题 求图形面积问题，如果给定的几何图形是三角形或平行四边形，则可直接在所给三角形或平行四边形的边上设置向量，再通过求出向量积以及讨论向量积的几何意义来求解。 例3 在?ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CD、BE相交于F，求证：S?BFC:S?BAC=1 : 3。 11?? 证明：如图，有BE???AB?CA?， ?? 22?? ∵BE、CD为中线 ∴F为重心 ∴BF? 故 ?22BE,CF?CD 3322?122?1??????? ， ????? 33?233?2?? 4?11??? 而 ?????????? 9?22??? 4?111? ??????????? 9?224? ?4?1???AB?CA?CA?AB? 9?4? 4?1??AB?AC?AB?AC? 9?4? ? ?43?? 94 1 ?AB?AC 3 ? 故S?BFC:S?BAC=1 : 3。 1.4证两线段平行问题 两线段AB与CD平行的充要条件是存在实数??0,使??。 例4 设自三角形的一高线足引直线垂直于另外两高线，则两垂足的连线必平行此两高线足的连线。 已知：D