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幂级数展开 05 第五节 函数展开成幂级数
第五节 函数展开成幂级数
前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数f(x)，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”，或者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数，我们就称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数f(x).
分布图示
★引言 ★泰勒级数的的概念
★麦克劳林级数
★函数展开成幂级数—直接法 ★例1
★例2 ★例3 ★例4 ★例5
★常用麦克劳林展开式
★函数展开成幂级数—间接法 ★例6
★例7 ★例8 ★例9 ★例10
★例11 ★例12 ★例13
★函数的幂级数展开式的应用
★内容小结 ★课堂练习
★习题7-5
内容要点
一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数f(x)能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果f(x)能展开成x的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于f(x)的麦克劳林级数.
二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；
间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们
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