线代习题3.5.doc

线代习题3.5 习题3.5 1. 设 则在B,C,D中与A等价的矩阵为 ，并说明理由． 分析 等价的充要条件是两个行列数相同的矩阵的秩相同. 由于A是一个3?3的秩为2的矩阵, 所以只要在B,C,D中找出同样是3?3的秩为2的那个矩阵即是与A等价的矩阵. 解 B是3?3的, 但是它的秩为1所以不是; C是3?3的同时秩也是2所以与A等价; D虽然秩是2但是是4?3的矩阵, 所以与A不等价. 综上知应填C. 2下述命题正确的是( )，并说明理由. (A) 若A与B等价，则A=B. (B) 若方阵A与方阵B等价，则A?B. (C) 若A与可逆矩阵B等价，则A也是可逆矩阵. (D) 若A，B，C，D均为n阶方阵.若A与B等价，C与D等价，则A+C与B+D等价. 解 (A)设A?? ?10??01? ,B?, 由于秩(A)=秩(B), 所以他们必等价, 但是显然????00??00? A?B. 据此(A)不正确. ?10??10?A?,B? (B)?01??02?,由于秩(A)=秩(B), 所以他们必等价, 但是显然 ????A?1?B?2.据此(B)不正确. (C)B是可逆矩阵, 因此B是满秩的方阵. 根据题意A与B等价, 即有秩(A)=秩(B), 所以A也是满秩的方阵, 因此A也是可逆矩阵. 据此(C)正确. (D)设A?? ?10??01???10??00? ,B?C?,D?,, 秩(A)=秩(B), ????????00??00??00??10?