克拉默法则解方程组 解线性方程组的克拉默法则.doc

克拉默法则解方程组 解线性方程组的克拉默法则 第一章 解线性方程组的克拉默(Gramer)法则 解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r，它的两端电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式 … １ 目录 一、摘要及关键词.........................................3 二、克拉默法则介绍.......................................3 三、克拉默法则的局限与推广......… Eclipse 编程:克拉默法则解线性方程组 摘要：求解线性方程组的方法多种多样，例如：追赶法、高斯消去法、迭代法等等。我们在线性代数中学习过用克拉默法则来求解线性方程组，它旨在计算出几个矩阵的行列式即可求出方程的解，原理思想简单易懂，易于编程实现。… 第一章 解线性方程组的克拉默(Gramer)法则 解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r，它的两端电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式 ir?v 求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元，二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 对于二元线性方程组 ?a? 11x?1 a12x?2 b?a21x?1 a2 x?b 2 2 2 当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1a22?a12 b2a11b2?a21 b 1? ba11a2?2 a1a x2? 221 a11a2?2 a1a 1 2 21 我们称a11a22?a12a21为二级行列式，用符号表示为 a11a22?a12aa1221? a11a 21 a22 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 a11a12a?0 21 a22 时，该方程组有唯一解，即 b1 a12a11b1 xb2a221? aa,xa21b22? 1112a11a12a21 a22 a21 a22 对于三元线性方程组有相仿的结论，设有三元线性方程组 ?a11x1?a12x2?a13x3?b1 ? ?a21x1?a22x2?a23x3?b2 ??a31x1 ?a32x2?a33x3?b 3 称代数式为三级行列式 a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，用符号表示为 a11 a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31?a21 a31 a12a22a32 a13a23 a33 我们有：当三级行列式 a11 a12a22a32 a13 a23?0 a33 d?a21 a31 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 ddd x1?1,x2?2,x3?3 ddd b1 a12a22a32 a13a33 a1a3 111 b1b 2 aa 3 a1a3 111 a1aa 222 b 1 其中d1?b2 b3 a23 d2?a2a2 3 d3?a2 3 2b 3 b3 32 ?a11x1?a12x2??a1nxn?b1 ? ?a21x1?a22x2??a2nxn?b2 在这一章中我们要把这个结果推广到n元线性方程组? ????? ?ax?ax??ax?b n22nnnn?n11 的情形 2克拉墨法则 现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题，在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形，以后会看到这是一个重要的情形，下面我们将得出与二元和三元线性方程组相仿的公式。 本节的主要结果是 定理：如果线性方程组 ?ax??anxn1?b?a11x1122 ? ?ax??anxn2?b?a21x12222 ? (1) ????? ?ax?ax??ax?b n22nnnn?n11 的系数矩阵 ?a11a12?? a21a22? A?? ????? ?an1an2? ??an2 ? (2) ???ann? n1 a 的行列式 d?|A? |0 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 x1? d1d