华理线性代数答案 华理线代答案8 khdaw.doc

华理线性代数答案 华理线代答案8 khdaw 导读：就爱阅读网友为您分享以下“华理线代答案8 khdaw”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 华东理工大学 线性代数 作业簿（第八册） 学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________ 6.1 二次型及其标准型 1.设矩阵A与B合同，则下述选项正确的是 （ ）. (A) r(A)=r(B)； (B) |A|=|B|； (C) tr(A)=tr(B)； (D) A与B有相同特征值. 故r(A)=r(B). 案网 w n2 in i=1i=12．设二次型f(x1,x2,???,xn)=n∑x?(∑xi)2, 则此二次型的矩 阵A=课后答, 二次型的秩为______, 二次型的正交变换标准型为_________ __________. ww.k解：A. 提示：A与B合同即存在可逆矩阵C，使得CTAC=B， ?n?1?1??1n?1解：????1??1...?1?...?1??，n?1，ny2+ny2+???+ny2, n?112?...?...n?1? 22z12+z2+???+zn?1. 提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）。因此求二次型的秩有两种方法，1) 直接求二次型的矩阵A的秩，2）先求A的特征值，A有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几. 3. 设实二次型f(x)=xTAx, 其中AT≠A，则二次型的矩阵为_________. 1解：(A+AT). 提示：f(x)=xTAx 的值是一个数，即2 11f(x)=fT(x)，故有f(x)=[f(x)+fT(x)]=xT(A+AT)x。而22 1(A+AT)为对称矩阵. 2 2标准型为y12?2y2，则A= ______，矩阵A的迹为 _____. 答解：0, ?1. 提示：A的特征值为λ1=1,λ2=?2,λ3=...=λn=0，根据∑λi=tr(A), i=1课后n 225. 若二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x2+cx3?2x1x2+6x1x3?6x2x3的 秩为2，则参数c的值为 _____，f(x1,x2,x3)=1表示的曲面为__________. 案网∏λi=1ni w4. 若n元(ngt;2)实二次型f(x)=xTAx (其中AT=A)的正交变换=A 易得. 解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵A3×3的秩为2，故|A|=0，由此可求得c=3。再求出A的特征值为λ1=0,λ2=4,λ3=9，即标 22 准型为f=4y2，由此知f(x1,x2,x3)=1为椭圆柱面。 +9y3 通6. 已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+3x3+2ax2x3（agt;0）过正交变换化成标准型f=y1+2y2+5y3，求参数a及所用的正交变换矩阵. ?200? ?，且A=2(9?a2)，由 解： 二次型的矩阵为A=?a03?? ??0a3?? 2 2 2 2 2 2 .k 这三个特征值的特征向量ξ1=[0,1,?1]T,ξ2=[1,0,0]T,ξ3=[0,1,1]T ? ?? 并把它们单位化，得正交变换矩阵为Q=? ????? ??0?1?. 2?1??2? ww hd 01 1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出属于 w 案网 可以通过正交变换 ?x??ξ??y?=P?η? ???????z???ζ?? 化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4。求a,b的值和正交矩阵P. 课 后 7. 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 答 aw 212 A=λ1λ2λ3即2(9?a2)=10 得 a=2。A有三个不同的特征值 .com 100 ?0??1b1??与B=?1?相似，故tr(A)=tr(B)=5，解: 由A=?1ba??????4??111???? 进而得a=3,b=1. 代入后分别求出A的线性无关的A=B=0， 特征向量ξ1=[1,0,?1]T,ξ2=[1,?1,1]T,ξ3=[1,2,1]T, 并把它们单位?1??2 化，可得正交变换矩阵为P=?0???1??213?13131??6?2?. ?61??6?（A）A+B正定； （B）AB正定； （A） 对任意x，恒有f(x)gt;0； （B）二次型的负惯性指数为零； （C） 存在可逆阵P，使得A=PTP； （D）A的特征值均不小于零. 解：C. 课后的是______. 答2．与“实二次型f(x)=xT