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向量的定义和计算 向量的定义和计算 ??MM设物体在常力F的作用下沿直线从点1移到点2，用r表示位移向量 ????M1M2，力F在位移方向r上的分力大小为Fcos?，力F所作的功为： ?? w?F?r?cos? 抛开这一问题的物理背景，我们可以给出一般地向量的数量积定… 七年级语文第一学期第六、七单元测验卷附答案 姓名学号班级得分一、文言文（31分） （一）默写（14分） l、苇蓬疏薄漏斜阳，,时时翘足对船窗。 2、，花木成畦手自栽。 3、孰知不向边庭苦， 。 4、 （二）课内文言文语段阅读（11分） 忽一人大呼“火… 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 （青岛版）六年级数学下册第三单元检测试卷 班级_____姓名_____得分_____ 一、填空。 1. 0.6=3：（ ）=（ ）÷15=（ ）成=（ ）％ 2. 在比例7：10=2… 向量的定义和计算 ??MM设物体在常力F的作用下沿直线从点1移到点2，用r表示位移向量 ????M1M2，力F在位移方向r上的分力大小为Fcos?，力F所作的功为： ?? w?F?r?cos? 抛开这一问题的物理背景，我们可以给出一般地向量的数量积定义： ??????a?bcos? 设ab是两向量，且它们之间的夹角为?，称数量为向量ab ?? 的数量积，并记作 a?b，即 ???? a?b?a?bcos? ???? 注明：记号a?b又可称之为“a点乘?b”。 ?? wrF据此定义，上例所求的功实际上是力与位移的数量积，即 ?? w?F?r。 因 ? bcos? 类似有： ????bprjaab是在向量方向上的投影，若用来记这个投影，便有： ?????ba?b?a?prja ?????aa?b?b?prjb 这表明： 两向量的数量积等于其中一向量的模与另一向量在该向量方向上 的投影的乘积。 这一事实的力学意义是十分鲜明的。 2、数量积的性质 (1)、 ???a?a?a 2 ?? 事实上，a与a的夹角??0， 故 ???????a?a?a?a?cos0?a?a?a 2 ????????a?b)；反 (2)、设a，b为非零向量，若a?b?0，那么a与b垂直( 记作 ????a?b之，若，那么a?b?0。 ?????? a?b?0?a?b?cos??0(而a?0,b?0) 证明： ?cos??0(又??[0,?])??? ? 2 ???a?b ???? (3)、(交换律)a?b?b?a ???????? a?b?a?b?cos??b?a?cos??b?a 事实上， ??????? (4)、(分配律)a?(b?c)?a?b?a?c ??????????(b?c)?a?(prj?b?prj?c)a?(b?c)?a?prjaaa事实上， ?????????b?a?prj?c?a?b?a?c?a?prjaa ?????? (5)、(数乘向量的结合律) (?a)?b?a?(?b)??(a?b) ?? 证明： 设向量a与b之间的夹角为?， ???? 若 ??0，?a与a同方向，故?a与 b的夹角仍为 ?，于是 ?????? (?a)?b??a?b?cos??(??a)?b?cos? ????? ?(??a)?b?cos????(a?b?cos?)?(a?b) ???? 若 ??0， ?a与a反方向， 故?a与 b的夹角仍为???， 于是 ?????? (?a)?b??a?b?cos(???)?(??a)?b?(?cos?) ?????? ?(??)?a?b?(?cos?)???(a?b?cos?)?(a?b) ??????(0?a)?b?0?b?0?b?cos??0?0?(a?b) 若 ??0， ???? 综合上述三点，有 (?a)?b??(a?b) 成立。 ???? 类似地可证明 a?(?b)??(a?b) 。 (6)、两向量数量积的坐标表示形式 ?? a?{ax,ay,az},b?{bx,by,bz}设 ，则有 ?? a?b?axbx?ayby?azbz ???????? a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk)?????? ?(axbx)(i?i)?(aybx)(j?i)?(azbx)(k?i)? ?????? (axby)(i?j)?(ayby)(j?j)?(azby)(k?j)? ?????? (axbz)(i?k)?(aybz)(j?k)?(azbz)(k?k) 证明： ???????????? ?(axi?ayj?azk)?(bxi)?(axi?ayj?azk)?(byj)?(axi?ayj?azk)?(bzk) ?(axbx)?1?(aybx)