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平行板电容器的两极板 一平行板电容器的两极板都是半径为 第五章 习题 1 一平行板电容器的两极板都是半径为 的变化率为： 的圆导体片，在充电时，其中电场强度 。试求： （1） 两极板间的位移电流 的磁感应强度 。 ； （2） 极板边缘 解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度 的方向与 的方向相同）。 因电容器中为真空，故 的方向水平向右（电位移矢量 。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。 已知圆板的面积 由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为 ，故穿过该面积的 的通量为 因 ，所以 的方向与 的方向相同，即位移电流的方向与 的方向相同。 （2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。 在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为 向一致， 的圆，其上 的大小相等，选积分方向与 方 则由安培环路定理可得 因在电容器内传导电流 ，位移电流为 （全电流） ，则全电流为 所以 极板边缘的磁感应强度为 根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度 的方向，如图所示。 2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为 电荷随时间变化，即 （2） 设 ，接于一交流电源时，板上的。试求： （1） 电容器中的位移电流密度的大小； 。 为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布 解: （1）由题意可知， ，对于平行板电容器电位移矢量的大小为 所以，位移电流密度的大小为 （2）由于电容器内无传导电流，故 求解磁感应强度。 设 为圆板中心到场点的距离，并以 为半径做圆周路径 。 。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路 根据全电流安培环路定理可知 通过所围面积的位移电流为 所以 . 最后可得 3. 如图（a）所示，用二面积为 的大圆盘组成一间距为 的平行板电容器，用两根 充电，试 点的磁感长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流 求： （1） 此电容器中位移电流密度； （2） 如图（b）所示，电容器中 应强度； （3） 证明在此电容器中从半径为 能与圆柱体内增加的电磁能相等。 ﹑厚度为 的圆柱体表面流进的电磁 解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。 电容器中位移电流密度 因此，也可以这样来求 的方向应如图（c）所示，其大小为 通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。 ： 因为 由于 ， 因此 所以 （2）由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场 也呈轴对称，显然过 点的 线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。 根据全电流安培环路定理，将 用于此 线上，有 得 所以 （3）在电容器中作半径为 由坡印廷矢量 壁流入圆柱体内的。 在单位时间内流入的能量为 ﹑厚度为 的圆柱体，如图（d）所示。 分析可知， 垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧 因为 所以 由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为 显然，单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。 4 如图所示，已知电路中直流电源的电动势为 ﹑电阻 ，电容器的电容 时，，试求： （1） 接通电源瞬时电容器极板间的位移电流； （2） 电容器极板间的位移电流； （3） 位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时间常数 后电流小到可忽略不计） 解: 对 串联电路的暂态过程有 求解该方程得： 表示极板上的电荷量是随时间变化。 在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为 ， 对应不同的情况，可求得 （1）在接通电源的瞬时 ，电容器极板间的位移电流 。 （2）当 （3）在 时， 时可认为电流忽略不计，即 。所以 5 一球形电容器，其内导体半径为 常数为 ，外导体半径为 ，两极板之间充有相对介电，假设 的介质。现在电容器上加电压，内球与外球的电压为 不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过半径为 的球面的位移电流。 解: 设电容器极板上带有电荷 ，由位移电流密度公式可知 由于球形电容器具有球形对称，用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为 （ 为径向单位向量） 球形电容器极板间的电势差为 与上式联立，消去 ，得 所以位移电流密度为