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吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 第六章 定积分的应用 §6-1 定积分的元素法 一、 再论曲边梯形面积计算 设在区间上连续，，为曲边，的曲边梯形的面积。 1．化整为零 用任意一组分点 将区间分成 个小区间， 并记 相应地，个窄曲边梯形，个窄曲边梯形的面积记 。 2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形， 3．积零为整， 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 4．取极限， 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： 分成部分区间，相应地分成部分量， 这表明：对于区间具有可加性。 (近似，的高阶无穷小。 ，的极限方才是精确值。故关键是确定 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 。 1．能用定积分计算的量， (1) 与变量的变化区间有关； (2) 具有可加性； (3) 可近似地表示成。 2的定积分表达式步骤 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 (1) 根据问题，为积分变量，； (2)分成若干小区间，， 的近似值 ( 为上一连续函数) 则称为量的元素，。 (3)的元素作被积表达式，为积分区间， 这个方法叫做元素法，的元素的微分表达式 因此，。 （注意微元法的本质） 作业：279页 1，2，（2）（3）（4）。6 §6-2 定积分几何应用（一） 一、直角坐标的情形 由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 其中：。 与 及直线 ，( )所围成的图形面积。 其中：。 1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。 ：1 解方程 , 得交点： 。 2. 选择积分变量并定区间 选取为积分变量， 3. 给出面积元素 在上， 在上， 4. 另解：为积分变量， 显然，，。 2 求椭圆所围成的面积 。 ：，4倍。 取为积分变量， ， 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 故 ( * ) 作变量替换 则 ， ( * * ) 二、极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线，。 取极角为积分变量， ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，的窄曲边扇形。 ， 的窄圆边扇形的面积来代替， 从而得到了曲边梯形的面积元素 从而 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 例3 计算心脏线所围成的图形面积。 ： ， （注意微元法的本质） 2.求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积. 作业：279页 1，2，（2）（3）（4）。6 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 §6-2 定积分几何应用（二） 一、体积 1.旋转体的体积 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，。 直线，轴所围成的曲边梯形，轴旋转一周而生成的立体的体积。 取为积分变量，，上的任一区间，轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，。： 所求的旋转体的体积为 例1 求由曲线及直线，轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的体积。 ：为积分变量， 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 2.平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 ) 由旋转体体积的计算过程可以发现：，。 取定轴为轴， ，轴的两个平面之内， 表示过点且垂直于轴的截面面积。 为积分变量，。上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，的扁圆柱体的体积。 ： 于是， 例2 计算椭圆 所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积。 ：及轴所围成的图形绕轴旋转所生成的立体。 在处，轴的平面去截立体所得截面积为 例3 计算摆线的一拱 以及所围成的平面图形绕轴旋转而生成的立体的体积。 解： 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 请自行计算定积分 二、平面曲线的弧长 1.直角坐标情形 设函数在区间上具有一阶连续的导数，的长度。 取为积分变量，,在上任取一小区间，可以用它的弧微分来近似。， 弧长为 例1 计算曲线的弧长。 ： 2.参数方程的情形 若曲线由参数方程 给出，， 的形式，从而有 例2 计算半径为的圆周长度。 ： 3.极坐标情形 若曲线由极坐标方程 给出，，，。 此时变成了参数， 从而有 例3 计算心脏线的弧长。 ： 小结:1. 旋转体体积 平行截面已知的立体的体积 2.平面曲线弧长的概念 求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下 作业：28