求函数值域的几种方法-1.ppt

求函数值域的问题，也是高中数学中常见的题型，下面举例说明求函数值域的几种常用的方法. 1. 利用配方法求函数的值域 对函数 y = f (x)，如果 f (x) = a [? (x)]2 + b，并且 ? (x) = 0 有实根，则当 a 0 时，f (x) 的值域是 [ b，+∞）；当 a 0 时，它的值域是（- ∞，b ] . 2. 利用换元法求函数的值域 3. 利用 ? (x) 的值域求 f [? (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于? (x) 的复合函数, 而 ? (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解出 ? (x) ，而后由 ? (x) 的值域确定 f (x) 的值域 . 4. 利用反函数的定义域求函数的值域 若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就是原函数的值域 . 5. 利用函数单调性求值域 设函数 y = f (x) 在某一区间上是单调的，且函数在两个端点处的函数值（或左、右极限）为 a、b，则 a、b 就是这个函数的最大、最小值（或上、下确界，a，b也可能是 ∞）. 6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数的值域 注 ： 若一个函数是分式函数，且其分子分母都是不超过二次的多项式函数，且其中至少有一个是二次多项式，则这样的函数就可以用上述方法求值域 . 另外，等我们学习了不等式一章之后，还可以用基本不等式求函数的值域 . * 求函数值域的几种方法 例 1 求 y = 2x2 - 4x + 5 (x ? R) 的值域 . 解：y = 2( x –1 )2 + 3， 由于 2( x –1 )2 ? 0 ， ? y ? 3 . ? 函数的值域为 [ 3，+ ∞）. 注：对于二次函数，都可以用这种配方的方法 求函数的值域 . ? y ? 1 . ? 函数的值域为（- ∞，1 ] . 这时若得 y ? 1，则是错误的 . 事实上，因为 t ? 0，所以 (t + 1)2 ? 1 . 解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 ? -1 . 解得 y ? -1 或 y 0 . ? 函数的值域为 { y | y ? -1 或 y 0 } . 注：对于分式函数，如果它的分子和分母都 是 x 的一次式，一般用这种方法求值域比较方便 . 解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）. 当 x ? 1 时，函数单调递增 . 因函数的定义域非空集，故上述关于 x 的一元二次方程一定有实根 . *