求数列通项公式-1.ppt

学习目标 在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法 理解求通项公式的原理 体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系 四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式 * 求数列的 通项公式 例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。 已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。 一、观察法 1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, …… 解：an=10n－1 (2) 1, 11, 111, 1111, …… 分析：注意观察各项与它的序号的关系 有 10－1，102－1，103－1，104－1 解：an= (10n－1) 这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！ 分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系 练习： 注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an. 二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公式） 练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an 二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公式） an= S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2) 解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2 不要遗漏n=1的情形哦！ 当n=1时, a1=1 不满足上式 因此 an= 1 (n=1) 4n －2(n≥2, ) 3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ ???+nan=3n+1,求通项an 解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) 注意n的范围 ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2） nan=3n+1－3n=2·3n 2·3n n ∴an= 而n=1时,a1=9 （n≥2） 两式相减得： ∴an= 9 (n=1) 2·3n n （n≥2, ） 例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项an 解:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 a2 －a1 = 1 a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3 ??? an－an－1 = n －1 an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ ???+ (a2 －a1)+ a1 =(n － 1)+(n －2)+ ???+2+1+1 三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列) n个等式 相加得 a1 = 1 an+1 － an= n (n∈N*) （1）注意讨 论首项; (2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式 求法：累加法 练习： 四、累乘法 (形如an+1 =f(n)?an型) 例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式 解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0 ∵ an+1+ an0 ∴ (n≥1) ∴ an= ... 注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得 ∴ (n+1) an+1 = nan 练习1： 类型四、累乘法形如 的递推式 练习2 五、迭代法 例5.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an. 解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2) ∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3 = 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+ a1 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+1 = 3n －1 2 特点 逐项代换 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列) 六待定系数法（构造法） 例6： 解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比