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第十二章 无穷级数 章主要内容小结 一、数项级数的审敛法 1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性； 2、正项级数的审敛法 若，则级数发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别； 对一般项出现阶乘、及次幂形式，多用比值法，； 对一般项出现次幂形式，多用根值法，； 对一般项可经缩小与放大处理后化成级数或几何级数形式，则用级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做； 注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当存在时，也存在，且，反之不一定成立。 3、任意项级数审敛法 为收敛级数，若收敛，则绝对收敛；若发散，则条件收敛； 莱布尼兹判别法：，且则交错级数收敛，且。 （二）求幂级数收敛域的方法 1、标准形式的幂级数，先求收敛半径，再讨论的敛散性； 2、。 （三）幂级数和函数的求法 1、求部分和式的极限； 2、初等变换法：分解、直接套用公式； 3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算； 4、 （四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式 1、函数的幂级数展开 直接展开法：利用泰勒级数； 间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质； 2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。 例1 若级数都收敛，且，证明级数收敛。 证明：，则由已知条件收敛，根据比较判别法有收敛，收敛。 说明：注意比较判别法只对正项级数成立，对一般级数不可用。 例2 判别下列级数的敛散性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 解：（1）解法1： 利用无穷级数收敛的性质：与都是几何级数，均收敛，所以 收敛； 解法2：该级数为正项级数，利用比较法，因为，而收敛，所以原级数收敛； 解法3：该级数为正项级数，利用根值法，因为，所以原级数收敛。 （2）因为，所以，由比较法的极限形式知：级数与具有相同的敛散性，而级数发散，所以原级数发散。 （3）利用比值法：，所以原级数发散。 （4）利用根值法：，所以原级数收敛。 （5）一般项，利用比值法、比较法、根值法都不易判定级数的敛散性，注意到是单调递减数列，因为积分收敛，所以原级数收敛。 （6）因为，所以，即，所以原级数发散。 例3 判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ （1）； （2）； （3）； （4）； 解：（1）因为单调递减，且，由莱布尼兹判别法知级数收敛 ，所以发散，原级数条件收敛。 （2），但不单调，所以不能用莱布尼兹判别法， 因为，而收敛，发散，所以发散。 （3），且，原级数收敛，而发散，所以原级数条件收敛。 （4），， 所以原级数发散。 说明：若级数改为，则级数绝对收敛。 例4 判别下列级数的敛散性 （1）； （2）； （3）； 解题思路：一般项中含有参数，需注意对参数进行讨论。 解：（1）注意到，故就分别讨论。 当时，，由级数收敛的必要条件知原级数发散； 当时，，由级数收敛的必要条件知原级数发散； 当时，，而级数为公比绝对值小于1的几何级数，是收敛的，由比较法原级数收敛。 综上所述：当时原级数收敛；当时，原级数发散。 （2）一般项中含有次幂，用根值法。因为， 由根值判别法，当时，即时级数收敛； 当时，即时级数发散；时，即时根值法失效，此时 ，由必要条件得级数发散。 综上所述：当时原级数发散；当时原级数收敛。 （3）这是交错级数，其绝对值级数为级数，需分讨论其绝对收敛与条件收敛。 当时，其绝对值级数是收敛的，所以原级数绝对收敛； 当时，其绝对值级数是发散的，而级数是交错级数，由莱布尼兹判别法可知其收敛，所以原级数条件收敛。 当时，，所以原级数发散。 例5 设正项级数和都收敛，证明级数也收敛。 分析：因为，，所以，且。又已知级数和收敛，如果级数和收敛，由不等式 与比较判别法即可推得收敛，从而欲证结论成立。 证明：因为收敛，所以，由极限定义，对正数，存在，使当时，有，从而，由比较判别法，级数收敛，同理可证级数收敛。 又因为，而收敛，由比较法知级数收敛， 所以收敛。 例6 求下列幂级数的收敛半径与收敛域 （1） ； （2）； （3）； 解：（1）因为，而不存在，用比值法求收敛半径失效，故用根值法。因为。而，，故，所以。 当时，原级数为，由，此级数发散； 同理，当时，原级数发散； 所以所求收敛域为。 （2）因为，原级数缺少的奇次幂项，故直接用比值法。因为 ，所以， 当时，原级数发散，所以所求收敛域为。 （3）因为，令，原级数为，取，则，所以， 当时，考察级数，易知级数与都收敛，所以级数收敛； 当时，考察级数，因为发散，