newton cotes 牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式.doc

newton cotes 牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式 导读：就爱阅读网友为您分享以下“牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes）求积公式 基本内容提要 1 数值积分的基本思想 2 代数精度的概念 3 牛顿－科特斯求积公式及其余项 4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性 教学目的和要求 1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念 2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式 3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性 教学重点 1 插值型求积公式的基本思想 2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程 3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性 4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式 教学难点 1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用 2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明 课程类型 新知识理论课 教学方法 结合提问，以讲授法为主 教学过程 问题引入 我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。这就是数值积分与数值微分的基本内容. 推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。以定积分的计算为例，要计算定积分 ∫ ∫b abaf(x)dx 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： f(x)dx=F(b)?F(a) 1 其中F(x)是被积函数的某个原函数。但对很多实际问题，上述公式却无能为力。这是因为： 1） 被积函数f(x)的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如 e,sinx等初等函数。 x2 x 2） 被积函数f(x)本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。 因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。 §3.1 牛顿-柯特斯求积公式 3.1.1 数值积分的基本思想 首先利用积分中值定理：∫f(x)dx=f(ξ)(b?a),ξ[a,b]导出矩形求积公式、ab 梯形求积公式。 再利用定积分的定义：∫f(x)dx=lim∑f(ξk)?xk，分析定积分的四个基本步aN→∞k=1bN 骤：分割、近似、求和、取极限。分割就是把总体（整块梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积），近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表小曲边梯形的面积（这是用矩形面积近似曲边梯形的面积）。求和就是把分量加起来得到总近似值，最后取极限就得到积分的准确值。数值计算时可以省掉求极限这一步，只要经过前三步就可求得积分近似值，这就是建立数值积分方法的基本步骤。 3.1.2 代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为要保证精确度，自然希望求积公式能够对“尽可能多”的被积函数f (x) 都准确成立，在计算方法中，常用代数精度这个概念来描述它。 定义3.1.1：若求积公式：∫f(x)dx≈∑AKf(xk) 对于任意不高于m 次的代数多ak=0bn 项式都准确成立，则称该求积公式的代数精度m 。 而对于xm+1 不一定能准确成立， 一般地，欲使求积公式 于f(x)=1,x,x,Lx2m∫baf(x)dx≈∑Akf(xk) 具有 m 次代数精度。只要令它对k=0n都能准确成立，即要求： 2 ?n ?∑Ak=b?a ?k=0 ?n12Ax(b?a2) =?∑kk2?k=0 ?n1mAx(bm+1?am+1)=?∑kkm+1?k=0 如果事先选定求积节点，如，以区间［a, b］的等距节点依次为节点，这时取m=n，求解上述线性方程组即可确定系数Ak ，从而使求积公式至少有m=n次代数精度。 3.1.3 牛顿-柯特斯求积公式 设要计算定积分为：I(f)=∫f(x)dx。 ab 数值计算定积分的方式就是利用被积函数在某些节点的信息，推导定积分的近似计算公式。其做法是 第一步： 在[a,b]上选择一些点,比如说是a≤x0lt;x1lt;xn≤b，了解这些节点处被积函数的信息，比如说算出f(xi),i=0,1,L,n。 第二步： 把上述信息作为插值条件，构造f(x)的拉格朗日插值多项式 Ln=∑li(x)f(xi). i=0n 第三步： 用Ln(x)代替f(x),按如下方式推导计算公式： I[f]≈∫Ln(x)dx=∑i=0li(x)f(xi)dx=∑i=0Aif(xi)?Q[f], (3.1) abnn 其中 Ai=∫li(x)dx ab 称为求积系数, xi称为求积节点。