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z变换的终值定理.
9. 初值定理 如果信号 x ( t ) 的拉氏变换为 X ( s ) ,且 x ( t ) 在 t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数,则: (5.40)
初值定理表明,s X ( s ) 的极限值等于信号 x ( t ) 在 t = 0+ 点的初值,而且,无论拉氏变换采用 0- 系统还是 0+ 系统,所求得的初值都是在 t = 0+ 时刻的值,证明如下。 根据时域微分性质可知: (5.41) 而由拉氏变换的定义可得: (5.42) 于是有: (5.43) 对此式两边取的极限,由于当,且仅当 t 0 时,,因此: 对初值定理,也可利用信号 x ( t ) 在 t = 0+ 时刻的台劳级数来证明,其台劳级数为:
(5.44)
式中,x (n)( 0+ ) 是 x ( t ) 在 t = 0+ 时刻的 n 阶导数值。
由于:
因此,对式(5.44)两边取拉氏变换后有:
由此而得:
初值定理要求信号 x ( t ) 在 t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数,这也就是要求式(5.40)中的 X ( s ) 必须是一个真分式。如果 X ( s ) 是一个假分式,即当 X ( s ) 分子的阶次高于或等于分母的阶次时,,式(5.40)将不成立。因此,如果 X ( s ) 是一个假分式时,则应先将它分解出一个真分式,然后再利用式(5.40)求这个真分式所对应的信号初值。例如,如果 ,这是一个假分式,它不能直接利用式(5.40)求得初值。但是,如果将其分解为 ,则可利用式(5.40)求得 所对应的信号初值为 1。
(5.40)
?
10.终值定理
终值定理的形式类似于初值定理,它是通过变换式在时的极限值来求得信号的终值,即
(5.45)
利用初值定理证明过程中所得到的式(5.43)可以证明终值定理。
由式(5.43)知
于是有:
显然只有当信号 x ( t ) 的终值存在时,才能利用式(5.45)求得它的终值,否则将得到错误的结果。而要使 x ( t ) 的终值存在,则要求 X ( s ) 的极点在左半 s 平面,如果 X ( s ) 在 j? 上有极点的话,也只能是在原点上的一阶极点,其原因在于,只有满足这种极点分布的信号才有终值存在。关于这个问题,可参阅“拉普拉斯逆变换”一节中的讨论。
至此,我们讨论了单边拉氏变换的主要性质,并求得了一些常见信号的变换式。表5.1 和 表5.2 分别列出了这些信号的变换式和拉氏变换的主要性质,以供读者查阅。
虽然我们讨论的只是单边拉氏变换,但对双边拉氏变换而言,除了初值定理、终值定理和微分性质和单边拉氏变换略有不同外,其它的性质和单边拉氏变换是一样的。这两种变换之间并没有什么本质的区别,然而,如果要求解非零状态下的系统响应,则只能使用单边拉氏变换。
4.5.8 终值定理
若 是因果序列,且已知其z变换为
则
证明:因为
(线性性)
(时移性)
取极限可得
=
= [证毕]
由证明过程可以看出,终值定理只有在 存在时才可以应用,也就是说 的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上,则只能位于 点,且是一阶极点)。
下面我们举例来说明终值定理的应用条件。
例:设序列为 ,可求出其Z变换为 ,取极限可得 。但显然序列的极限并不存在,即 不存在,所以
导致上面这种“终值定理”不成立的原因是X(z)在单位圆外有极点。
终值定理的应用类似于拉氏变换的终值定理,如果已知序列x(n)的z变换X(z),在不求逆变换,且满足终值定理地应用条件时,就可以直接利用终值定理很方便地求出序列的终值
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