z变换的终值定理..doc

9. 初值定理 　　如果信号 x ( t ) 的拉氏变换为 X ( s ) ，且 x ( t ) 在 t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数，则: 　　　　 　(5.40) 　　初值定理表明，s X ( s ) 的极限值等于信号 x ( t ) 在 t = 0+ 点的初值，而且，无论拉氏变换采用 0- 系统还是 0+ 系统，所求得的初值都是在 t = 0+ 时刻的值，证明如下。 　　根据时域微分性质可知: 　　　　　　　　　　　　　　　(5.41) 　　而由拉氏变换的定义可得: 　　　　　　　　　　(5.42)　 　　于是有: 　　　　　　　　　　　　　　　(5.43)　 　　对此式两边取的极限，由于当，且仅当 t 0 时，，因此: 　　　　　　　　　　 　对初值定理，也可利用信号 x ( t ) 在 t = 0+ 时刻的台劳级数来证明，其台劳级数为: (5.44) 式中，x (n)( 0+ ) 是 x ( t ) 在 t = 0+ 时刻的 n 阶导数值。 由于: 　　　　 因此，对式（5.44）两边取拉氏变换后有: 由此而得: 　　　　 　　初值定理要求信号 x ( t ) 在 t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数，这也就是要求式（5.40）中的 X ( s ) 必须是一个真分式。如果 X ( s ) 是一个假分式，即当 X ( s ) 分子的阶次高于或等于分母的阶次时，，式（5.40）将不成立。因此，如果 X ( s ) 是一个假分式时，则应先将它分解出一个真分式，然后再利用式（5.40）求这个真分式所对应的信号初值。例如，如果 ，这是一个假分式，它不能直接利用式（5.40）求得初值。但是，如果将其分解为 ，则可利用式（5.40）求得 所对应的信号初值为 1。 　　　　 　(5.40) ? 10.终值定理 　　终值定理的形式类似于初值定理，它是通过变换式在时的极限值来求得信号的终值，即 　　　　 　(5.45) 　　利用初值定理证明过程中所得到的式（5.43）可以证明终值定理。 　　由式（5.43）知 　　　　 　　于是有: 　　　　 　　显然只有当信号 x ( t ) 的终值存在时，才能利用式（5.45）求得它的终值，否则将得到错误的结果。而要使 x ( t ) 的终值存在，则要求 X ( s ) 的极点在左半 s 平面，如果 X ( s ) 在 j? 上有极点的话，也只能是在原点上的一阶极点，其原因在于，只有满足这种极点分布的信号才有终值存在。关于这个问题，可参阅“拉普拉斯逆变换”一节中的讨论。 　　至此，我们讨论了单边拉氏变换的主要性质，并求得了一些常见信号的变换式。表5.1 和 表5.2 分别列出了这些信号的变换式和拉氏变换的主要性质，以供读者查阅。 　　虽然我们讨论的只是单边拉氏变换，但对双边拉氏变换而言，除了初值定理、终值定理和微分性质和单边拉氏变换略有不同外，其它的性质和单边拉氏变换是一样的。这两种变换之间并没有什么本质的区别，然而，如果要求解非零状态下的系统响应，则只能使用单边拉氏变换。 4.5.8 终值定理 　　若 是因果序列，且已知其z变换为 　　 　　则 　　 　　证明：因为 　　(线性性) 　　(时移性) 　　 　　取极限可得 　　 　　 　　＝ 　　= [证毕] 　　由证明过程可以看出，终值定理只有在 存在时才可以应用,也就是说 的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上，则只能位于 点，且是一阶极点)。 　　下面我们举例来说明终值定理的应用条件。 　　例：设序列为 ，可求出其Z变换为 ，取极限可得 。但显然序列的极限并不存在，即 不存在，所以 　　 　　导致上面这种“终值定理”不成立的原因是X(z)在单位圆外有极点。 　　终值定理的应用类似于拉氏变换的终值定理，如果已知序列x(n)的z变换X(z)，在不求逆变换，且满足终值定理地应用条件时，就可以直接利用终值定理很方便地求出序列的终值