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§19 怎样建立波动方程 怎样建立简谐波的波动方程？ 简谐波是最简单、最基本的波，任何复杂的波都 可看成由若干个简谐波叠加而成的，因此，它又是最重要的波。 ［例1］已知波源的简谐振动方程为，向x轴正方向传播，波速为u,波动方程的建立如下(图2-19-1)： 如x轴的原点与波源重合，则从源源传到某一点x，所需要的时间为，这时间就是该点比波源迟振的时间，于是该点的振动方程为： 由于假设媒质是均匀的、无吸收的，所以该点振幅与波源相同。基于该点选择的随意性，所以该方程即为简谐波的波动方程，它描述了波线上任一点在任一时刻的位移。 如果波源在原点以右远的地方，则波动方程为： 式中表示x点比波源迟振的时间。。 如果已知A点的振动方程为，波速与x 轴正方向相反，且A点与原点O相距，试建立波动方程。 设在A点左方取某一点x，则该点比A点早振这么多时间，于是波动方程为： 当A与O重合时： 其实上述四种情况只是坐标的选择不同使波动方程在形式上发生了变化。对于波线上某一点来说，这四种波动方程都退化为同一简谐振动方程。一定点的振动方程是一定的，这可作为检查波动方程正误的判据，如不同形式的波动方程，对于一定点来说，得不到相同的振动方程，则肯定是错误了。 ［例2］设A、B为一简谐振波波线上距离小于波长的两点，B点比A点的相位落后，已知AB间的距离为2cm 、波的周期为2秒、振幅4cm(在传播中保持不变)。如果t=0时，A处的质点处于平衡位置，向位移正方向运动，请以B点为坐标原点，写出此简谐波的波动方程。 ［解］设B在A的左边，波从B传到A，将此定为x轴的正方向。 为了写出波动方程，先求波长λ和波速u，由于A、B间的相位差为，AB间距为2.0ccm，故有： 又因为周期T=2.0秒，故有： 再求B点的初位相。根据题设，B点位相比A点落后，故能求得A点初位相，即能求得B点的初位相。 时，A点处于平衡位置，因此A点的初位相不是，就是，两者必居其一。由于时，A点向位移的正方向运动，根据参考圆方法可知，A点初位相为。 B点位相比A点落后，帮B点初位相为。由此可知B点作波源，它的振动方程为： 因为波实际上是从A传到B的，故小时波动方程为： 怎样建立微分形式的波动方程？ 微分形式的波动方程是一般的，它不只适合于简谐波，而且不是简谐波也可应用。这类方程建立的步骤如下： 首先选择一体积元的媒质作为研究对象，对它作受力分析，再根据牛顿第二定律列出动力学方程。进而引用弹性模量的定义以及速度与加速度之间的关系，即可求得微分形式的波动方程了。 ［例3］求气柱中一维微分形式的压力波的波动方程。 设气柱截面积为S，其中的压力P沿轴向 (x方向) 是变化的，即P是x的函数，(图2-19-2) 选取这体积元的气体作为研究对象。左边受压力，右边的压力为，合外力为，负号表示合力与x轴的正向相反。体积元中的质量为(为密度)，于是根据牛顿第二定律有： 体积元左边的速度为，右面为，在时间内，右面比左面多走了，于是体积元的体积变化为，其相对变化为： 根据容变弹性模量的定义： 式(1)对x求导得： 式(2)对t求导得： 故得压力的波动方程： 怎样建立驻波的波动方程？ 已知相向传播的二线性相干简谐波，根据波的叠加原理，利用三角函数关系即可建立驻波的波动方程。 ［例4］设从MN发出的一平面波，沿着x方向传播，其波动方程为，传到墙壁后反射回来。求合成的波的波动方程。(MN与墙壁间距离为)。(图2-19-3) ［分析］反射波的波动方程为： 式中是考虑到x点，发射波与反射波在该 点的相位差，是考虑到半波损失加上的。 ［解］、是同向、同频率、位相差恒定的两平面波，因此要叠加产生驻波。其波动方程为： 式中与时间t无关，是驻波的波幅。 ［例5］设入射波的波动方程为： 式中的为速度。在点发射，反射点为一固定点，求合成波的波动方程。 ［解］反射点为固定点，有半波损失，反射波反向，故其波动方程为： 合成波为： 合成波的振幅为，为y的函数，当时，的振幅恒为零(波节)，当时，的振幅最大(波幅)。相邻波节(或波腹)间的距离为，相邻 节点间的质点具有同位相，而每隔，振动位相相反，在波节处位相发生突变。故合成波为---驻波。 5