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第十六章 多元函数的极限与连续 § 1 平面点集与多元函数 (一) 教学目的： 了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解的完备性，掌握二元及多元函数的定义． (二) 教学内容： 平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；的完备性；二元及多元函数的定义． (1) 基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及的完备性，掌握二元及多元函数的定义． (2) 较高要求：掌握的完备性定理． (三) 教学建议： (1) 要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关的概念，可布置适量习题． (2) 有关的完备性定理的证明可对较好学生提出要求． ———————————————————————— 平面点集: 平面点集的表示: 满足的条件P}. 余集. 常见平面点集: 全平面: 半平面 , , , 等. 矩形域: , }. 圆域: 和. 邻域: 圆邻域和方邻域 圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域 的区别. 点集拓扑的基本概念: 内点：若存在点P 的某邻域使得，则称P是集合E的内点。 外点：：若存在点P 的某邻域，使得，则称P是集合E的外点。 界点：若P的任何邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称点P是 E的界点 集合的内点, 外点 , 界点不定. 边界表示为. 确定集的内点、外点集和边界. 为Dirichlet函数. 确定集的内点、外点和界点集 . 定义（聚点）若P的任何空心邻域内都含有E中的的点，则称点P是E的聚点。 定义（孤立点）: 若存在，使得，则称点A是E的孤立点。 孤立点必为界点. . 确定集的聚点集 . 解 的聚点集. 开集：若E的每一个点都是E的内点，即 时，称E为开集。 闭集:若的聚点集，称为闭集。 比如例1是开集，矩形域 和 }是闭集。 存在非开非闭集，比如圆环 ；此外环约定和空集为既开又闭的点集. 开区域：若非空开集E具有连通性，即E中任何两点都可以用一条完全含于E的有限折线链接起来，则称E为开区域。 闭区域：开域连同其边界所构成的点集称为闭域。 区域：开域、闭域，或者开域连同其部分边界所构成的点集，统称区域。 例如 是开域；是闭域；既是开域又是闭域。 （即Ⅰ，Ⅲ 象限） 虽然是开集，但不具有连通性，所以不是开域，也不是区域。 有界集: 对于平面点集E ，若存在某一正数 ，使得 则称E是有界点集，否则称为无界点集。 例如 均为无界集。 两点的距离： 点集的直径 三角不等式： 二 中的完备性定理: 定理16.1 （Cauchy准则）平面点列收敛的充要条件是：对任意，存在 时，对一切正整数p,都有 先证{}为Cauchy列和均为Cauchy列. 定理16.2 (闭域套定理) 设是中的闭域列，满足： i) ; ii) 则存在唯一点 定理16.3（聚点原理）设 为有界无限点集，则E在中至少有一个聚点。 推论： 有界无限点列 ，必存在收敛子；子列。 定理16.4（有限复盖定理）设 为有界闭域，为开域族，它们覆盖E（即），则在中必存在有限个开域 ，它们同样覆盖E（即）。 三 二元函数: 二元函数的定义、记法、图象： 例 马鞍面 球面 定义域： 求定义域： i) ; ii) . 例5 求二元函数 的定义域 解 函数的定义域为 二元函数求值: 例6 , 求 . 例7 , 求. D E P xy 0 P0 z x y