§243命题与证明..doc

§24.3 命题与证明 1.定义、命题与定理 试一试 观察图24.3.1中的图形，找出其中的平行四边形． 要解决这个问题，首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得 以前学过的知识吗？ “有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这句话说明了平行四边形 的含义以及区别于其他图形的特征．一般地，能明确指出概念含义或特征的句子， 称为定义（definition）. 还可以举出如下的一些定义： （1） 有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形． （2） 有六条边的多边形，叫做六边形． （3） 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线． 定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、 “差不多”等不能在定义中出现．正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的 事物或名词区别开来． 思 考 试判断下列句子是否正确． （1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； （2）三角形的内角和是180°； （3）同位角相等； （4）平行四边形的对角线相等； （5）菱形的对角线相互垂直． 　　根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 　　在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论． 　　例1　把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论． 　　解 　这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”. 　　数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axiom）．例如，我们通过探索，已经知道下列命题是正确的： 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等； 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 我们把这些作为不需要证明的基本事实，即作为公理． 　　此外，我们把等式、不等式的有关性质以及等量代换（即在等式或不等式中，一个量用它的等量替代）都作为逻辑推理的依据． 　　有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）． 　　例如，运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．” 　　定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的根据． 练　习 找出右图中的锐角，并试着对“锐角”写出一个确切的定义. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论. 全等三角形的对应边相等； 平行四边形的地边相等. 指出下列命题中的真命题和假命题. 同位角相等，两直线平行； 多边形的内角和等于180°； 如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形全等. 2.证明 思 考 一位同学在钻研数学题时发现： 2＋1＝3， 2×3＋1＝7， 2×3×5＋1＝31， 2×3×5×7＋1＝211． 于是，他根据上面的结果并利用素数表得出结论： 从素数2开始，排在前 面的任意多个素数的乘积加1一定也是素数．他的结论正确吗？ 如图24.3.2所示， 一个同学在画图时发现： 三角形三条边的垂直平分线的 交点都在三角形的内部．于是他得出结论： 任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．他的结论正确吗？ 我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形、八边形等的内角和，得到一个结论： n边形的内角和等于（n－2）×180°．这个结果可靠吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 　　上面几个例子说明： 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实． 　　根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明（proof）． 　　前面的学习已经告诉我们： 一条直线截两条平行线所得的内错角相等．下面我们运用前面所提到的基本事实，即公理来证明这个结论． 　　例1