§33解对初值的连续性和可微性定理..doc

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理 在初值问题中我们都是把初值看成是固定的数值，然后再去讨论方程经过点的解.但是假如变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值.例如：时,方程的解是,将初始条件带入,可得.很显然它是自变量和初始条件的函数.因此将对初值问题的解记为,它满足. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质. 1、解关于初值的对称性 设方程(3.1)满足初始条件的解是唯一的,记为,则在此关系式中, 与可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式 证明 在方程(3.1)满足初始条件的解的存在区间内任取一点,显然,则由解的唯一性知,过点的解与过点的解是同一条积分曲线,即此解也可写为 并且,有.又由是积分曲线上的任一点,因此关系式对该积分曲线上的任意点均成立. 2、 解对初值的连续依赖性 由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理： 引理：如果函数于某域内连续，且关于满足Lipschtiz条件（Lipschtiz常数为），则对方程（3.1）的任意两个解及，在它们公共存在的区间内成立着不等式 （3.17） 其中为所考虑区域内的某一值. 证明 设, 于区间上均有定义,令 则 于是 从而 所以,对,有 对于区间,令,并记,则方程(3.1)变为 而且已知它有解和. 类似可得 因此, 两边开平方即得(3.17). 利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性： 解对初值的连续依赖定理 假设在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果，初值问题有解，它于区间上有定义(),则对任意， ，使得当时,方程(3.1)满足条件的解在区间上也有定义，并且有 . 证明 记积分曲线段是平面上一个有界闭集. 第一步:找区域,使,而且在上关于满足Lipschitz条件. 由已知条件,对,存在以它为中心的开圆,使在其内关于满足Lipschitz条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(不同的,其半径和Lipschitz常数的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段,令,则,对,记,则以上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含的有界闭域,且在上关于满足Lipschitz条件, Lipschitz常数为. 第二步:证明，使得当时,解在区间上也有定义. 由于是一个有界闭域,且在其内关于满足Lipschitz条件,由解的延拓定理可知, 解必能延拓到区域的边界上.设它在的边界上的点为和,,这时必有.否则设,由引理有 利用的连续性,对,必有存在,使当时有,取,则当时就有 (3.18) 于是对一切成立,特别地有 , 即点和均落在域的内部,这与假设矛盾,故解在区间上有定义. 第三步 证明. 在不等式（3.18）中将区间换成，可知当 时，就有 . 根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有 3、解对初值的连续性定理 若函数在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解作为的函数在它的存在范围内是连续的. 证明 对,方程(3.1)过的饱和解定义于上,令 下证在上连续. 对,,使解在上有定义,其中. 对,使得当时, 又在上对连续,故,使得当时有 取,则只要就有 从而得知在上连续. 4、解对初值和参数的连续依赖定理 讨论含有参数的微分方程 (3.19) 如果对，都存在以为中心的球，使得对任何，成立不等式 其中是与无关的正数，称函数在内关于一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一，方程（3.