§3泰勒级数罗朗级数..doc

幂级数的基本性质小结 1．对于幂级数， 必然存在一个以展开中心为圆心的圆，在圆内级数收敛，而在圆外级数发散。 这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为收敛半径。（ 在收敛圆周上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析。） 收敛半径（比值判别法和根值判别法）： ， 2. 幂级数在其收敛圆内一致收敛：幂级数在以b为圆心、任何一个略小于收敛圆的闭圆（ 略小于收敛圆的半径）内一致收敛。 3. 幂级数的和函数在其收敛圆内是一解析函数： 幂级数的和函数 在其收敛圆内解析。 因此幂级数在其收敛圆内可以逐项求导至任意阶，同时不改变收敛半径。幂级数的系数与其和函数的n阶导数之间有如下关系： §3. 复变函数的泰勒展开 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P50-55】 (一) 泰勒定理：设函数在以为圆心、为半径的圆内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)能展开成以为中心的幂级数： ， ，且展开式为唯一的。 证明： 设为圆内的任意一点，作一个圆周（如图）：，使点含于内, 并且在圆周上解析。 由柯西积分公式得： 【注意： 】 而 （推广的柯西积分公式） ， 其中 。 唯一性：设另有 ， 两边对求阶导数： 。 (二) 将解析函数展开成泰勒级数的方法 1．直接计算展开系数： 2．泰勒级数的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求泰勒展开系数，而不一定要用来求。例如利用初等函数的泰勒级数展开（特别是，，三角函数等的泰勒级数展开）： 例1：求在的泰勒展式。 解：在复平面上解析，在时的泰勒系数为 ，于是有 。 例2：求在的泰勒展开式。 解：， 【】 。 例3：求在的泰勒展开式。 解：令，则 。 例4：求在的泰勒展开式。 解： ， 由于在内一致收敛于，， 。 例5：求在的泰勒展开式。 解： ， 当 时， ， 在时，级数收敛且，所以如果规定时，，就有 。 §4. 罗朗级数 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P55-61】 泰勒定理告诉我们:如果函数在圆内解析， 在圆内必可展开成幂级数。 如果函数在内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？ 罗朗定理告诉我们，如果函数在内有奇点，一般不能展开成幂级数的形式，但有可能能够展开成罗朗级数的形式。 （一）罗朗级数的定义和收敛区域 1．罗朗级数： 在前面讲的幂级数中，幂次均为正，若一个级数既包括正幂项也包含负幂项，即有形式： ， 则称为其为以为中心的罗朗级数。 幂级数在解析，而对于罗朗级数，是它的奇点。 2．罗朗级数的收敛区域 将罗朗级数分成两部分： 正幂部分： ，罗朗级数的正则或解析部分， 负幂部分： ， 称为罗朗级数的主要部分。 对于正幂部分，设它的收敛圆为，在内，正幂部分是一个解析函数。 对于负幂部分，可作变换 则负幂部分变为的幂级数：。设它的收敛圆为。 当时，负幂部分是收敛的，且为区域内的解析函数。 当时，由于 ， 不能同时成立，故正幂部分与负幂部分不存在公共收敛区域，从而罗朗级数不存在收敛区域，罗朗级数发散。 当时，正幂部分与负幂部分有公共收敛区域： 圆环. 在此圆环内，罗朗级数是收敛的, 其和为该圆环内的一解析函数。 根据上面的讨论, 我们得到一个重要的结论： 罗朗级数如果收敛的话， 其收敛区域必为以展开中心为圆心的一个圆环型区域：. 圆环的外半径由级数的正幂部分决定，内半径由级数的负幂部分决定： , 例. 求罗朗级数的收敛区域。 解：正幂部分的收敛区域为以为圆心的圆，其半径为： 。 负幂部分的收敛区域为以为圆心的圆外部区域，圆心的半径为：. 正幂部分与负幂部分的公共收敛区域为圆环：. （二）圆环内的解析函数的罗朗级数展开 罗朗定理：在圆环 内解析的函数必可展开成以为中心的罗朗级数： ， 其中称为罗朗系数， ， ， 是圆环内任一以为圆心的圆周 ，。 （定理的证明从略，不讲） 几点说明： （1）在罗朗展开式中，； （2）罗朗级数中，展开中心可能是的奇点，也可能不是奇点； （3）泰勒级数展开可以看作是罗朗级数展开的特例。如果函数在大圆的整个内部都是解析的，根据柯西定理，罗朗级数的负幂部分的展开系数必为零（即，罗朗级数回到泰勒级数。 （4）如果函数只是在圆环内解析，在小圆内存在奇点，则函数只能作罗朗级数展开。 罗朗展开的唯一性： 如果函数能够在圆环内展开成罗朗级数，则展开式是唯一的。 罗朗展开的唯一性使我们不一定要用积