§41算符的一般运算规则..doc

　 §4.1 算符的一般运算规则 　 ???? 重点：??? ?????????? 线性算符、厄密算符的定义及物理意义 　 ?????? 算符是指作用在一个函数上得出别一个函数的运算符号。 ????? 例如： ，则 就是一个求微商运算的算符。同理， ，等运算符号，也是算符。 　 ? （一）? 算符相等 ?? 如果算符 分别作用于任意一个函数 上，得出 （4.1-1） ??????? 则我们说，算符 等于算符 ，即 ????? （4.1-2） (二)算符相加 ?如果把算符 分别作用于任意一个函数 （4.1-3） ????? 则算符 是 之和： （4.1-4） (三)算符相乘 ?? 如果两算符 先后作用于任意一个函数 （4.1-5） ? 则说算符 等于 和乘积： （4.1-6） 一般来说，两算符的积不满足交换律，即 （4.1-7） ??? 称满足上式的两算符 是不可对易的。 例如 是不可对易的，即 ??????? 因为把它们分别作用在任一函数 上，则有 ?????? 显然两者的作用结果不相等。 在某些情况下，若 ????? （4.1-8） ?????? 则称算符 是可对易的。 例如 是可对易的，即 ????? 因为对于任一函数 ，显然有 ?????? 如果算符 满足下列等式 （4.1-9） ?????? 则称算符 是反易对的。 还应当注意两点： （1）如果算符 对易， 对易，则我们一般不能由此得出结论说 对易。例如 和 对易， 和 对 易。但 和 不对易。 （2）两算符相乘不满足对易律，故在相乘时不要随便改变各因子次序 (除非 可对易) （四）线性算符 设 是两个任意函数， 是两个任意常数，如果算符 满足下列等式 ? （4.1-10） 则 称为线性算符，例如 等是线性算符，而 则不是线性算符。因为 ???????? (五)算符的本征值与本征函数 ??? 如果算符 作用于一个函数 ，结果等于一个常数 的乘积： ??????????????????????????????????????????????????????????? （4.1-11） ??? 则称 为算符 的本征值， 称为算符 的本征函数。方程称为算符 的本征值方程。 ??? 例如定态薛定谔方程 ?????? 就是本征值方程的典型的例子，其中 是算符 的本征函数，能量 就是 的本征值。 ? （六）厄密算符 ??? 如果对于任意函数 ，算符 满足下列等式 （4.1-12a） 或写为 ???? （4.1-12b） ?????? 则称 为厄密算符。 厄密算符有一个重要的性质：它的本征值是实数。下面证明这一点： 设 是厄密算符，以 表示它的本征值， 表示所属的本征函数，则 ????? 令（4.1-12a）式中的两个函数 和 都等于 的本征函数，即取 ，于是有 ????? 由此得到 ???????? 即 是实数。