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“初等数论初步”简介.
“初等数论初步”简介
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一、内容与课程学习目标
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本专题的学习初等数论的一些基本知识,具体包括:整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习,要引导学生:
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1.通过实例,认识带余除法,理解同余和剩余类的概念及意义,探索剩余类的运算性质(加法和乘法),并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同(会出现零因子)。
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2.理解整除、因数和素数的概念,了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼(Eratoshenes)筛法,知道素数有无穷多个。
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3.了解十进制表示的整数的整除判别法,探索整数能被3,9,11,7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。
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4.通过实例,探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法,理解互素的概念,并能用辗转相除法证明:若a能整除bc,且a,b互素,则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。
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5.通过实例,理解一次不定方程的模型,利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。并尝试写出算法的程序框图,在条件允许的情况下上机实现。
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6.通过实例(如物不知其数问题),理解一次同余方程组的模型。
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7.理解大衍求一术和孙子定理的证明。
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8.理解费马小定理(当m是素数时,am-1≡1(mod m))和欧拉定理(aφ(m)≡1(mod m),其中φ(m)是1,2,…,m-1中与m互素的数的个数)及其证明。
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9.了解数论在密码中的应用——公开密钥。
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二、内容安排
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本专题共安排了四讲,其中最后一讲“数论在密码中的应用”可根据教学时间的实际情况机动安排,可由教师讲授,也可作为学生课后的阅读材料。本专题教学时间约需18课时,具体分配如下(仅供参考):
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第一讲? 整数的整除?????????????????????????????????????? 约5课时
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一、整除的概念和性质 ????? 约2课时
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二、最大公因数与最小公倍数 约2课时
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三、算术基本定理 ?? 约1课时
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第二讲 同余与同余方程 约7课时
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一、同余????? 约1课时
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二、剩余类及其运算 约2课时
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三、费马小定理和欧拉定理 约1.5课时
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四、一次同余方程 ? 约1课时
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五、拉格朗日插值法和孙子定理 ? 约1课时
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六、弃九验算法 约0.5课时
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第三讲 一次不定方程 ? 约3课时
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一、二元一次不定方程 约1课时
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二、二元一次不定方程的特解 ? 约1课时
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三、多元一次不定方程 ? 约1课时
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第四讲 数论在密码中的应用 约2课时
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一、信息的加密与去密 约1课时
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二、大数分解和公开密约 约1课时
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学习总结报告 ?????? 约1课时
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本专题的知识结构如下:
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1.初等数论中有许多知识和问题是比较通俗易懂的。许多学生在小学就学习了整数的分解、素数和整除性的简单知识。少数学生在中学阶段为参加数学竞赛的需要,通过课外活动进一步学习了同余和不定方程的初步知识。但是,初等数论中不少问题,说起来容易,做起来很难。因此,有些教师和学生可能认为本专题的学习太难,不愿意去教和学。事实上,本专题学习的目的不是训练学生去做初等数论的难题,为数学竞赛服务,而是介绍初等数论中最基本的概念、方法和思想,使学生对初等数论及其应用有一个初步的认识,通过介绍初等数论的一些历史背景知识(如历史人物和历史名题),开阔学生的眼界,同时了解我国古代数学家在初等数学研究方面取得的一些重要成就,增强民族自豪感。
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2.整数的整除理论是初等数论的基础,其中心内容是最大公因数与最小公倍数理论,最基本、最重要的结果是算术基本定理。带余除法是建立整数的整除理论的一个重要工具。辗转相除法(也称Euclid算法)是初等数论中最重要的方法之一,它由有限次带余除法构成,利用它不仅可以证明最大公因数的如下重要性质:
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?????????????????????? (a, b)= ax + by,??????
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