应力与应变间的关系课件.ppt

* §7-7 应力与应变间的关系 一、单向应力状态下应力与应变的关系 横向线应变 与纵向线应变 成正比，比值为泊松比γ，而符号相反。 E 为材料的弹性模量，单位为N/m2. 二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系 或 G 为剪切弹性模量，单位为N/m2. （1）符号规定 x y z o 上面 右侧面 前面 ?x ?y ?z ? x y ? y z ? z x ?x ? y ? z ? x y ? y z ? z x 1、各向同性材料的广义胡克定律 (a)三个正应力分量：拉应力为正 压应力为负。 三、复杂应力状态下应力与应变的关系 x y z o 上面 右侧面 前面 (b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴 正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。 图中表示的均为正方向 线应变: 以伸长为正, 缩短为负。 剪应变: 使直角减小者为正, 增大者为负。 ? xOy ? yOz ?zox 。 x y z O 上面 右侧面 前面 在?x ?y ?z 分别单独存在时, x 方向的线应变 ?x 依次为: 2、各向同性材料的广义胡克定律 (1)线应变的推导 在?x ?y ?z同时存在时, x方向的线应变?x为 在?x ?y ?z同时存在时, y,z方向的线应变为 剪应变 ?xy , ?yz ,?zx与剪应力?xy ,?yz ,?zx之间的关系为 公式的适用范围 : 在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。 (2)剪应变的推导 公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小 变形条件下, 各向同性材料。 3、 特例 （1）平面应力状态下(假设 ?Z = 0 ) （2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下： (7-7-6) 平面应力状态下 设 ? 3 = 0, 则 材料的三个弹性常数E, G, ?间存在如下关系: 例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为 。构件材料为Q235钢，其弹 性模量E=210GPa，泊松比?=0。3。求该点处的主应力值， 并求该点处另一主应变?2的数值和方向。 解： 一，一对应。 由于构件自由表面，所以主应力?2=0。 所以该点为平面应力状态。 由 解得 该点处另一主应变?2的数值为 ?2是缩短的主应变，其方向必与?1和?3垂直，即沿构件的 外法线方向。 四、各向同性材料的体积应变 （2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变 （1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。 公式推导 设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+??? , d y(1+?2? , d z(1+?3? , 因此变形后单元体的体 积为: ?2 ?1 ?3 dx d y d z 体积应变为 将广义胡克定律 代入得 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变?x ，?y， ?z有关。仿照上述推导有 在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。 特例 在平面纯剪切应力状态下： 代入得 可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。 例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较 大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 ?=0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。 a a a P y x z 解：铜块上截面上的压应力为 y ?y Z x ?z ?x (b) 由 *