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全等三角形证明题 全等三角形证明提高题
全等三角形提高题精选 全等三角形是能够完全重合的两个三角形,它们的对应边相等,对应角相等。对于某些竞赛题,考虑构造全等三角形并利用这两个相等,可使其解答巧妙、迅捷。 一、与线段相等有关的竞赛题 例1(成都市初二数学竞赛题)如图1,△ABC的两条高BD…
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全等三角形提高题精选
全等三角形是能够完全重合的两个三角形,它们的对应边相等,对应角相等。对于某些竞赛题,考虑构造全等三角形并利用这两个相等,可使其解答巧妙、迅捷。
一、与线段相等有关的竞赛题
例1(成都市初二数学竞赛题)如图1,△ABC的两条高BD、CE相交于点P,且PD=PE。求证:AC=AB。
简证:连AP。
因为∠PDA=∠PEA=90°,PD=PE,PA=PA, 所以Rt△PDA≌Rt△PEA(HL)。 所以AD=AE。
因为∠1=90°-∠CAB=∠2,
所以Rt△ACE≌Rt△ABD(AAS)。 所以AC=AB。
A
EBAB
图1 图2
例2(天津市初二数学竞赛题)如图2,AC=BC,∠ACB=90°,∠A的平分线AD交BC于点D,过点B作BE⊥AD于点E。求证:BE=
1
AD。 2
简证:延长BE、AC交于点F。
因为∠1=∠2,AE=AE,∠AEB=∠AEF=90°, 所以△AEB≌△AEF(ASA)。 所以BE=FE=
1
BF。 2
因为∠3=90°-∠F=∠2,BC=AC, 所以Rt△BCF≌Rt△ACD(ASA)。 所以BF=AD,BE=
1
AD。 2
二、 与角相等有关的竞赛题
例3(赣州市初三数学竞赛题)如图3,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BD是中线,CE⊥BD于点E,交AB于点F。求证:∠ADF=∠CDE。
简证:过点A作AG⊥AC交CF的延长线于点G。 因为∠1=90°-∠3=∠2,AC=BC, 所以Rt△CAG≌Rt△BCD(ASA)。 所以AG=CD=AD,∠G=∠CDE。 因为∠4=45°=∠5,AF=AF, 所以△ADF≌△AGF(SAS)。
所以∠ADF=∠G=∠CDE。
G
B
A
A
EB
图3 图4
例4(上海市初中数学竞赛题)如图4,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,AE=
1
(AD+AB)。求证:∠ADC+∠ABC=180°。 2
简证:过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F。 因为∠2=∠3,AC=AC,
所以Rt△ACF≌Rt△ACE(AAS)。 所以CF=CE,AF=AE。
因为AD+AB=2AE,AB=AE+EB, 所以EB=AE-AD。 因为FD=AF-AD, 所以EB=FD。
所以Rt△CEB≌Rt△CFD(SAS)。 所以∠ABC=∠5。
所以∠ADC+∠ABC=∠ADC+∠5=180°。
全等三角形(竞赛题选讲)
【例题讲解】
例题1.(第17届江苏省竞赛题)如图17 -1所示,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD
,AB>AD,下列结论正确的是 ( )
A. AB-ADCB-CD B.AB -AD=CB - CD
C.AB -AD<CB –CD D.AB -AD与CB - CD的大小关系不确定
例题3.如图17 -3所示,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证:AB+BD=CD.
例题4..如图17 -6所示,已知△ABC中,AD、BE既是△ABC的角平分线,又是△ABC的高,试判断△ABC的形状.
例题5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G..求证:CF=
GB.
例题7.如图所示,△ABC的∠A的平分线为AD,M为BC的中点,AD∥ME. 求证:BE=CF=
1
(AB+AC). 2
【练习巩固】
【答案与提示】
【证明与计算】
10.如图17 - 28所示,△ABC中;AC=BC,∠A
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