《数学物理方程与特殊函数》全_..doc

备 课 笔 记 课程名称：《数理方法》 任课教师：黄志祥 教学班级：06电子信息 上课时间：2007－2008学年第一学期 教材：《数学物理方程 授课教师：黄志祥 将数学方法应用于现代高新技术领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了实用性很强的数学物理方法. 数学物理方法是以高等数学和大学物理为基础的，但拓深了高数的内容，同时给出了各个专业领域里具有普遍意义的典型物理模型的数学解法.本课程将培养我们从纯数学的学习转入到将数学和物理相结合，并将抽象数学应用于解决实际问题的能力. 本课程的主要内容：三种典型方程的建立＋具体边界条件不同方程的求解方法 授课方式：以板书形式讲解典型方程的求解方法为主，由Matlab给出具体方程结果的图形并结合PPT作物理解释.顺便复习巩固高数及普物相关内容. [参考资料]： ?1.数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社，2007年4月. ?2.?数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月. ?3.?MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )，陈怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006. 预备知识 基本概念 偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如 其中：为多元函数. 方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次； 线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的； 自由项：不含未知函数及其导数的项； 齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解； 通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：为一阶非线性非齐次偏微分方程； 为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程的通解为 其中，为两个任意独立的函数. 注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数. 线性偏微分方程解的特征 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为 其中，为二阶线性偏微分算符，满足 (1).齐次线性偏微分方程解的特征 a.当为方程的解，则也为方程的解； b.为方程的解，则也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征 为非齐次方程的特解，为齐次方程的通解，则为非其次的通解； 若则 (3).线性偏微分方程的叠加原理 若是方程的解(其中为二阶线性偏微分算符),如果级数收敛，且二阶偏导数存在，则一定是的解；特别地，若是方程的解，则一定是的解. 典型方程和定解条件的推导 §1.1三类基本方程的建立 0.二阶线性偏微分方程归类 双曲型方程：以波动方程为代表 描述：各项同性的弹性体的波动、振动过程、声波、电磁波的传播规律等. 抛物型方程：以热传导方程为代表 描述：扩散过程、热传导过程满足的规律. 双曲型方程，抛物型方程都是随时间变化的(发展的)，有时也称为发展方程. 椭圆型方程：以Poisson方程为代表 当时，方程退化为Laplace方程. 描述：稳定场方程，如重力场、静力场、静磁场. 波动方程的建立 弦的微小横振动问题 考虑一根均匀柔软的细弦沿轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设是平衡时坐标为的点时刻沿方向的位移，现在求弦上各点的运动规律. “采用隔离法”研究一小段与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T沿着弦振动波形的切线方向； (2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为，单位长度的质量为或线密度为； (3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角也是很小的，则 而 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有 在横向上有 根据，上式可以化简为 即弦的横振动方程为 此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中就是弦上振动传播的速度. 图1.1所示 讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为 (*) 此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程. ②如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则(*)式可以改为 则(**)式称为弦的受迫振动，其中 传输线方程(微波技术基础) 今考虑一段高频的传输线，此时它被当作具有分布参数的导体，其等效电路模型为图1.2所示.由于输入的是交变电压，所以电压及电流将沿着传输线长度变化，通常还是时间的函数.下面来建立分布于传输线上的电压及电流所满足的方程.相关参数说明如下： R－每一回路单位的串联电阻，L－每一回路单位的串联电感， C－每一单位长度的分布电容，L－每一单位长