l人教版初中数学九年级第二十七章相似习题含答案.docVIP

专题总结及应用 一、知识性专题 专题1 比例线段 【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解． 例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO． (1)求证； (2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围． 分析 利用△CDE∽△CAB，可证明． 证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAB，∴. 解：(2)∵AE＝8，OC＝12， ∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8． 又∵， ∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128． 连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12， ∴8＜BC＜16． 【解题策略】 将证转化为证明△CDE∽△CAB. 专题2 乘积式或比例式的证明 【专题解读】 证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证，可设法证，，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。 例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证． 分析 欲证，可将其分成三个比例式，，，再将三式相乘即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了． 证明：延长FG交AB于K，连接DK， ∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC，∴EF＝CF． ∵FG∥BC，∴∠1＝∠2， ∴Rt△FDC≌Rt△EKF， ∴KF＝DC，∠3＝∠4， ∴四边形KFCD是平行四边形，∴∠2＝∠5， ∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°， ∴DK⊥AB， ∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG， ∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴．① ∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴．② 在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD． 又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴．③ 由①×②×③，得． 例3 如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证. 分析 原式等价于＝1，也就是，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证即可． 证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4， ∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x 作CE平分∠BCA，交AB于E， 在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE， ∴△DCE≌△BCE， ∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x， 又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE， 又∵DE＝EC，∴AD＝CE． 在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x， ∴△ABC∽△ACE，∴， 即， ∴,∴=1 即. 二、规律方法专题 专题3：相似三角形的性质 【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形． 例4 如图27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC，，DE＝4 cm，则BC的长为 ( ) A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm 分析 由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，．因为，所以,所以．因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B. 例5 如图27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC. (1)求∠EDB的度数； (2)求DE的长． 分析 (1)由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝∠ABC，可求∠EDB．(2)由DE∥BC，得△ADE△ACB，则，再证出BE＝DE，可求DE． 解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC，