《线性代数》D复习(部分关系和结论)..doc

《线性代数》复习 题型：填空题；选择题；计算题；简述题； 证明题 几个专题 （一）行列式： 1．阶行列式的定义； 2．用定义计算具有少量非零元素的行列式； 3．行列式的五条性质及其推论； 4．行列式按行（列）展开及其推论 注：各类行列式的计算 （二）方阵可逆的定义及其等价条件： 1．； 2．（或）； 3．（即非奇异）； 4．的阶数（即满秩）； 5．只有零解（或对任何非零向量，）； 6．有唯一解； 7．（为初等矩阵，）； 8．~（即与等价）； 9．的列（行）向量组线性无关； 10．的特征值全不为零； 11．（）正定 （三）的逆矩阵计算： 1．由矩阵方程解出；或由解出的第列； 2．； 3． （四）有关秩的结论： 1．； 2．； 3．若，则； 4．若，可逆，则； 5． （若用分别表示的列阶梯型，，后者的非零列数为，故其秩不会超过）； 6． （, 所以）； 7．； 8. 若非奇异，则； 8．（通过与同解）； 9．若，则； 10．矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩； 11．矩阵的秩，向量组的秩，二次型的秩， 线性变换的秩（P183）的定义； 注：矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算，向量组的秩，极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题 （五）向量组线性相关性的结论： 1．向量组线性相关有非零解 矩阵的秩； 2．当时，个维向量必线性相关； 3．线性相关向量组的扩充向量组仍线性相关，特别含零向量的向量组线性相关； 4．（）线性相关至少其中有一个向量可用其余个向量线性表示； 5．个维向量线性相关； 6．线性相关的各分量对应成比例； 7．若向量组可由线性表示且线性无关，则的向量个数不超过的向量个数 注：线性相关性的判定和证明 （六）与线性方程组解有关的结论： 1．元齐次线性方程组有非零解； 特别，若的行数小于，则必有非零解； 2．元齐次线性方程组的解集是一个向量空间（解空间）；若，则解空间的维数，设是基础解系，那么的通解为； 3．元非齐次线性方程组有解； 特别，若的行向量组线性无关，则必有解(因为此时增广矩阵的行向量组线性无关)； 4. 元非齐次线性方程组有解可以由的列向量组线性表示与等价； 5．设，唯一解对应，无限多解对应。在无限多解的情况下的通解为，其中是的基础解系，是的特解； 6．若，则元非齐次线性方程组有个线性无关解； 7．设是非齐次线性方程组的解，并令，那么是的解 是的解 注：线性方程组解的讨论和具体计算 （七）方阵正交的定义及其等价条件： 1．（或）； 2．； 3．的列（行）向量都为单位向量且两两正交； 4．对任何和，成立 （：。 ：记， 则，，故，从而。） （八）对称矩阵为正（负）定的定义及其等价条件： 1．对任何，成立； 2．二次型的标准形的个系数全为正（负） （或正（负）惯性指数为）； 3．的特征值全为正（负）； 4．的各阶主子式全为正（奇数阶为负，偶数阶为正）； 5．可逆且正（负）定 （利用与特征值同号）； 6．负（正）定 （按定义推得） 注：半正（负）定问题 （九）特征值和特征向量的性质及其计算，例如 特征值的两个等式关系； 与，与的特征值和特征向量的关系； 不同特征值的特征向量的线性相关性问题； 对称矩阵不同特征值的特征向量的正交性问题 (十) 化二次型为标准形 （配方法，正交变换法） （十一）几种矩阵关系 1．等价关系，矩阵等价的不变量（秩），矩阵标准形； 2．相似关系，矩阵相似的不变量（特征值），可对角化问题，约当标准形； 3．合同关系，矩阵合同的不变量（有定性） （十二）线性空间（向量空间）和线性变换 1．判定是否为线性空间（向量空间）； 2．基到基的过渡矩阵，不同基下的坐标变换； 3．线性变换在基下的矩阵，同一线性变换在不同基下的矩阵的转化 可比较的一些关系 ●一般不成立 （例如取，，偶数） ● （和都对称时，也对称） ●一般不成立 （例如，） ●和均正交推不出正交 (列（行）向量长度) ●和均正定可推得正定 （） ● ●一般不成立，应有 ●一般不成立，应有 ●和均正交可推得正交 () ●和均正定推不出正定 （未必对称） （例如，均正定，但不对称） ● ● （） ● ● ●一般不成立，应有 ●一般不成立，应有 若正交，则 （） 若可逆，则 （, ） （当）， （当） （当：设，， 当：(1) 若，则，从而 . (2)