三角函数周期的几种求法..doc

三角函数周期的几种求法 深圳市福田区皇岗中学　蔡舒敏 高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。 1．定义法： 定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时， ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ） 都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。 例1．求函数y=3sin（）的周期 解：∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） 　　=3sin（）=3sin[] = f（x+3） 这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。 ∴函数y=3sin（）的周期是T=3。 例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期 解∵f（x+）= sin6（x+）+ cos6（x+） = cos6x +sin6x= f（x） ∴f（x）=sin6x+cos6x的周期为T= 例3：求f（x）=的周期 解：∵f（x+）= = = = f（x） ∴求f（x）=的周期：T= 2．公式法： （1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：、、。 例4：求函数y=1-sinx+cosx的周期 解：∵y=1-2（ sinx-cosx） 　　=1-2（cossinx-sin cosx） 　　=1-2sin（x-） 这里=1　　∴周期T=2 例5：求：y=2（sinx-cos3x）-1 解：∵y=2（sinx-cos3x）-1 　　=2sin（3x-）-1 这里=3 　∴周期为T= 例6：求y=tg（1+）的周期 解：这里=，∴周期为：T=/= （2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。 例7：求f（x）=sinx·cosx的周期 解：∵f（x）=sinx·cosx=sin2x 这里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T= 例8：求f（x）=sin2x的周期 解：∵f（x）=sin2x= 而cos2x的周期为，∴f（x）=sin2x的周期为T=　　 注：以上二题可以运用定义求出周期。 例9：求y=sin6x+ cos6x的周期 解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。 ∵y=sin6x+ cos6x =（sin2x+ cos2x）（sin4x-sin2x·cos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2x·cos2x =1-3 sin2x·cos2x 　　 =1- sin22x =+cos4x 而cos4x的周期为T==, ∴y= sin6x+ cos6x的周期为T= 例10：函数y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期。 解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。 ∵y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x =3-2sinx·cosx+2cos2x =3-sin2x+cos2x+1 =4+2(cos2x-sin2x =4+2cos(2x+) ∴y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期为T= 3．定理法： 如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1 事实上，由（既约分数），得T= P2T1=P1T2 ∵f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x） ∴P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。 例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。 解：∵y=tg6x的周期为T1=，tg8x的周期为T2= 由P1T2= P2T1，得==，取P1=4，P2=3 　　 ∴y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=。 例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期