三角形与四边形的切割与变换..doc

台北市第三十九屆中小學科學展覽作品說明書封面 科別:數學科 組別:國中組 作品名稱: 三角形與四邊形的切割與變換 關鍵詞:三角形 四邊形 編號: 指導老師：王傳忠老師 作者：台北市立弘道國中 楊皓崴三角形與四邊形的切割與變換 綱 要 研究動機…………………………………………… 研究目的……………………………………p2 研究過程與……………………………………p3 結論…………………………………………p18 參考資料……………………………………………p19 研究動機 研究目的三、研究過程與(即)，則，故E為的中點；同理，D為的中點。 因此G為重心，則。然而這與假設矛盾。 所以，不可能分割成四個區域都相等的面積。 反過來說，我們可以得到這樣的結果：當和為兩條中線時，則此二中線分割三角形為四塊區域，其四塊面積(a,b,c,d)的關係為。（兩相對面積分別相等）如圖，設□ABCD為正方形，E、F、G、H分別為AO、BO、CO、DO的中點，則□AHCF和□BEDG兩四邊形共同部分的面積是原□ABCD面積的多少？ 因為如果我們先看△AOD，則可以得到 □EIHO= 1/3(△AOD)，同理 □HLGO= 1/3(△DOC) □GKFO= 1/3(△COB) □FJEO= 1/3(△BOA) 故八邊形EIHLGKFJ的面積=1/3 □ABCD。 事實上從證明過程中，我發現本問題的正方形ABCD改為任意四邊形，本問題的結果仍然成立。 1-2 由於四塊不可能全部相等，是否可以分割使這四個區域中的三個面積都相等呢？ 如果四個區域（a,b,c,d）中的三個區域面積相等，則可能情況如下： b=c=d a=b=c a=d=c a=b=d 這四種情況中的(2)和(3)，由於對稱處理上，可視為同一種。 第1種情況：b=c=d。 因為b=c則DG=GC；同理，因為c=d則EG=GB。 故四邊形DBCE為平行四邊形，因而BD平行CE，故BD和CE不會有交點A，所以不可能有b=c=d的情況發生。 第2種情況：a=b=c(第3種情況a=d=c和它類似)。 連接AG線段，令△ADG的面積為e，則 △AEG的面積為a-e。則 ，則 ………(1) ，則 ………(2) 由(1),(2)可得到 ， 所以，；。 依照這樣的比例，我們可以畫出BE和CD兩線段，將△ABC分割成a=b=c這三塊區域的面積相等，且此四塊區域的面積比為。 第4種情況：a=b=d。 連接AG線段，令△ADG的面積為e，則 △AEG的面積為a-e。則 解出得，，。 如此，AD:DB=1:2，AE:EC=1:2。(右圖) 且此四塊區域的面積比為。 如果此問題改為凸四邊形且使用兩條對角線分割呢？(如圖)，即怎樣的凸四邊形，才會使兩條對角線分割出的四塊三角形有越多塊面積相等呢？ 我首先考慮梯形(如圖)，則可以得知： (因為，又，所以)。 若，則。 故我們可以得到，任意凸四邊形以兩條對角線分割為四塊三角形。若這四塊三角形面積都相等此四邊形為平行四邊形。 解決上述問題1的方法能應用於解決去年的研究問題： 一個任意三角形，將三邊分別三等分，再將頂點對應連接其對邊的等分點（如圖），則中間形成的三角形面積為原三角形面積的多少？ 先去掉AF線段（如圖） 再連接AG線段，以△ABC的面積為1，設△BDG的面積為a、△AGE的面積為b，則 △ADG=2a，△CGE=2b。則 解得 a=1/21，b=4/21。 得知△BDG=1/21。同理，△AIE=1/21；△CHF=1/21。又因□ADGE=6/21，所以□ADGI=5/21；□CEIH=5/21；□BFHG=5/21。 因此，△GHI=。 從上述的結果，可得到如下的邊長比： BG：GI=3/21：3/21=1：1，同理，AI：IH=1：1；CH：HG=1：1。 這引起我的好奇，△ABC可以分別由△IGH的三邊延伸2倍得到。於是我形成如下的研究問題2： 問題2：給定三角形，沿著這三角形的三邊(固定方向)分別延長或縮短某倍數，形成的新三角形和原三角形有怎樣的面積關係？ 2-1 設三角形ABC為一給定的三角形。如果從這三角形的三邊固定方向分別延長k倍 (即AD=kAB,BE=kBC,CF=kCA)，則新三角形DEF的面積為原三角形面積的幾倍？ 解：如圖，DB=(k-1)a，，所以 △DEB=1/2?(k-1)a?(kh)=(k-1)k?△ABC；同理， △EFC= (k-1)k?△ABC，△FDA= (k-1)k?△ABC所以，△DEF=[3(k-1)k+1]?△ABC △ABC。 討論： 情況1： 從圖形中我們很容易得知新三角形（△DEF）也可得知。 情況2： 則形