线性代数第四章向量组的线性相关性讲述.ppt

定义：把集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 称为由向量 a, b 所生成的向量空间． 一般地，把集合 L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm ∈R } 称为由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间． 例：设向量组a1 , a2 , ..., am 和 b1 , b2 , ..., bs 等价，记 L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R }， L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1, m2, ..., ms∈R }， 试证 L1 = L2 ． 结论：等价的向量组所生成的空间相等． a l a L = {l a | l∈R } L = {l a + m b | l, m∈R } a b c L = {l a + m b + g c | l, m, g ∈R } l a m b g c a b l a m b a1 a2 L1 = { l1a1 + l2a2 | l1, l2∈R } L2 = { m1b1 + m2b2 | m1, m2∈R } 则 L1 = L2 L3 = { m1b1 + m2b2 + m3b3 | m1, m2 , m3∈R } 问题：L1 = L2 = L3? b1 b2 b3 返回 子空间的概念 定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的 加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间． 例： n 维向量的全体Rn 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：V1 是 Rn 的子空间，V2 不是 Rn 的子空间． 向量空间的基的概念 定义：设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① a1, a2, …, ar 线性无关； ② V 中任意一个向量都能由 a1, a2, …, ar 线性表示； 那么称向量组 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基． r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间 ． 向量空间 向量空间的基 向量空间的维数 向量组 向量组的最大无关组 向量组的秩 n 维向量的全体 Rn 解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n . 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：En 的后 n－1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n－1 ． n 元齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维 数等于 n－R(A) ． n 维向量的全体 Rn 解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n . 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：En 的后 n－1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n－1 ． 结论：若V1 是V 的子空间，则V1 的维数不超过V 的维数． n 元齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维 数等于 n－R(A) ． 由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间 L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R } 若 a1 , a2 , ..., am 线性无关，则 a1 , a2 , ..., am 是向量空间 L 的一个基． 若 a1 , a2 , ..., am 线性相关，则 向量组 A：a1 , a2 , ..., am 等价于 向量组 A 的最大无关组 A0 ：a1 , a2 , ..., ar 从而 L =L1= { l1a1 + l2a2 + …+ lr ar | l1, l2, ..., lr∈R } 故向量组 A0 就是 L 的一个基， A0中向量的个数就是 L 的维数. 由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间 L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R } 解： L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R } 向量组 A：a1 , a2 , ..., am 等价于 向量组 A 的最大无关组 A0