不动点定理-网络1..doc

一、不动点算法 又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换?(x),映射到A时,使得x=?(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, ?为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=?（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一xA?，?(x)为A的一子集。若?(x)具有性质：对A上的任一收敛序列xi→x0，若yi?(xi)且yi→y0，则有y0?(x0),如此的?(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为Rn中的一紧致凸集，对于任何xA，若?(x)为A的一非空凸集，且?(x)在A上为上半连续，则必存在xA,使x?(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。?　　不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明?(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R?内函数?(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{?(x)│gi(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,?和g1,g2,…,gm皆为Rn中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。?　　在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和 J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。?　　H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n?维单纯形Sn为例来说明这一概念，在此,。对每一i, 将区间0≤xi≤1依次分为m1,m2…等分，m1m2…,mi→,是给定的一列正整数。对于固定的i,过分点依次作平行于xi=0的平面。 这些平面将Sn分成若干同样大小的n维三角形。它们的全体作成的集?Gi,称为Sn的一三角剖分。设?(x)为?Sn→Sn的一连续函数，x＝(x1,x2,…,xn+1),?（x）=（?1（x），?2（x），…，?n+1（x））。定义。由于?(x)和x皆在Sn上,若有则显然有?(x)=x,即x为?(x)的一不动点。?　　对每一点ySn赋与标号l(y)=k=min{j│yCj,且yj0}。由著名的施佩纳引理,在Gi中必存在一三角形σi，它的n+1个顶点yi(k)的标号分别为k(k=1,2,…,n+1)于是可得一列正数ij(j→),使得(k)→yk,k=1,2,…,n+1。根据σi的作法，当ij→时,收敛成一个点x。故yk=x,k=1,2,…,n+1。因?(k)的标号为k,故ykCk,因而即x为所求的不动点。因此,求?(x):Sn→Sn?的不动点问题就化为求 σi(i=1,2,…) 的问题。为了计算上的效果，除了上述的标号法之外，还有标准整数标号法、向量标号法等等。关于如何求σi，有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等，通过适当定义,可将上之Sn改为Rn或Rn中之一凸集。求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题。一般说来，这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况。?　　参考书目?　A.J.J.TalmanVariable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ? 二、Prof. Yuguang Xu (徐裕光 教授)（ Kunming University, China (雲南省昆明學院)） Fixed point theory and its applications（在台湾成功大学所作的报告） ? 不动点理论研究的内容属于数学的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴。研究出的结果被广泛应用于分析数学，力学，微分方程，控制理论，最优化理论，非线性规划，数理经济学和博弈论等应用性学科。 (一)．不动点理论的发展进程 ?? 一个简单的不动点问题（微积分中）； ?? 1909 年， Brouwer 的著名的?不动点定理?及一系列的论文创立了不动点理论； ?? 1922 年 , 波兰著名数学家 S. Banach 给出了一个既简单又实用的?压缩映射原理，?它也是一个不动点定理。在简单的条件下， Banach 压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性和唯一性，还提供了一种逼近不动点的方法