不等式求最大(小)值..doc

一、一周知识概述 　　本周主要讲述了利用平均不等式和柯西不等式求最值的一些方法，要注意等号成立的条件，其次要掌握一些常见的变形技巧，这样可以更好地使用不等式求最值. 二、重难点知识归纳 1、运用算术－几何平均不等式求最大（小）值 （1）若a、b为正实数，则． 　　 若a，bR，则a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）． （2）若a、b、c为正实数，则 ． （当且仅当a＝b＝c时取“＝”号） 2、运用柯西不等式求最大（小）值 　　设n为大于1的自然数，ai，bi(i＝1，2，…，n)为实数，则 　　， 　　当且仅当时等号成立（当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1，2，…，n）. 三、典型例题剖析 例1、求的最值． 分析： 　　由题意知，首先要调整符号，而不是定值，需对进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式． 解： ， ，即． ， 当且仅当，即时等号成立． 函数有最大值． 例2、求函数的最大值． 分析： 　　注意到与的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均值不等式求解． 解： ． 当且仅当，即时取等号． 又，可知，故． 例3、设实数x,y满足，求的最大值． 解析： 由柯西不等式，得 . ，即. 例4、已知实数a,b,c,d满足，，试求a的最值. 解析： 由柯西不等式得，有. 即 由条件可得. 解得，故a的最大值为2，最小值为1. 例5、如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． 　　（l）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 　　（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解析： 　　（1）设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．设每间虎笼面积为S，则S＝xy． 由于， ，得. 即，当且仅当时，等号成立． 由，解得． 故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大． （2）由条件知. 设钢筋网总长为l，则. ∵. ∴. 当且仅当时，等号成立． 由，解得. 故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．