不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程..doc

不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程 一．不等式的解 知识小结 一元二次不等式：只含有一个未知数。并且未知数的最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式。 要求学生举5个例子。 闭区间：集合叫做闭区间，记为[a,b]。注意：隐含条件ab。 开区间：集合叫做开区间，记为（a,b）。注意：隐含条件ab。 半开半闭区间：集合或叫做半开半闭区间，记为[a,b]或（a,b）。注意：隐含条件ab。 区间的端点：在上述所有区间中，a,b叫做端点。 实数集R及用区间表示：， ，读作正无穷大，读作负无穷大。它们是一个理想的数，不是一个具体的数，比你想的大还要大，比你想的小还要小。 7、、或的解法： 例1 例1（一元二次不等式与一元二次方程的关系）求不等式2x2-3x-20的解集。 解： 因为不等式2x2-3x-20相应的一元二次方程的根的判别式ΔO，方程2x2-3x-2＝0的两个根是 所以不等式的解集为。 小结：解不等式步骤：10检验二次项系数是否为正；20判断一元二次方程的判别式是否0,0,=0；30解出一元二次方程的根；40写出一元二次不等式的解集（用集合或区间表示）。 8、、或的解法： 前面，我们只考虑一元二次不等式的二次项系数a0的情况，当aO时，可在不等式的两边同乘以一l，使二次项系数为正，就可同样求解． 例2 求不等式-3x2+x+10的解集． 解 将原不等式化为3x2-x-10， 因为方程3x2-x-1＝0的两根是, 所以原不等式的解集为 例3 写出一个一元二次不等式，使它的解集（-1，3）。 解：由不等式的解集为(一l，3)，可知x应满足条件：-1x3, 于是有(x+1)(x-3)0，即x2-2x-30是一个解集为(一1，3)的一元二次不等式． 前面提到的刹车问题，只要求出一元二次不等式 0．00526x2+0.000078x45．5的解即可．利用上面介绍的一元二次不等式的解法，可得不等式的解为x93．00或工一93．01． 根据题意，可推断这辆汽车在发生交通事故时的车速大于93千米／时．这条信息将成为车祸责任认定的重要依据。 ９．当时，不等式或，也可以用二次函数图象来求解。 10．当时，不等式或，可以变为的情况。 例4（用二次函数的图象来解）解下列不等式 9x2+6x+10; 4x-x25; 2x2+x+1≤.0 解：略（４）：原不等式可以化为令则次函数为抛物线，它的开口向上，，原不等式无解。 例5．当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+40的解集为(一∞,+∞)? 解 函数y= x2+(k-1)x+4的图像是开口向上的抛物线． 因为不等式x2+(k-1)x+40的解集为(一∞,+∞)，所以整条抛物线在x轴上方，此时方程x2+(k-1)x+4=0的根的判别式Δ＝(k一1)2一160． 解得k∈(一3，5)． 所以，当一3k5时，不等式x2+(k-1)x+40的解集为(一∞,+∞)。 3．一元二次不等式组的解法 例6.解不等式组。 解：由不等式（1）得，不等式（2）得，可知原不等式组解集为 4．含参数的一元二次不等式 例7．解关于的不等式。 解：Δ=a2+12a=a(a+12). 当Δ0时，即a-12或a0时，原不等式的解为或。 当Δ=0时，即a=-12或a=0. 当a=0时，原不等式的解为x∈(-∞,0)∪(0,+∞)。 当a=-12时，原不等式的解为x∈(-∞,-2)∪(2,+∞) （3）当Δ0时，即-12a0时，原不等式的解为x∈R. 例8．解关于的不等式。 解：（1）当m=0时，原不等式的解为x∈(-∞,-1). (2) 当m≠0时，原不等式的解为(nx-2)(x+1)0,. 当m-2时，原不等式的解为x∈. 当m=0时，原不等式的解为(x+1)20,无解。 当-2m0时，原不等式的解为x∈。 当m0时，原不等式的解为x∈. 例9．(1)设不等式的解集为，试求不等式的解集。 解：不等式的解集为，∴a0,并且是方程的两个正根。于是有，。 又也， 所以是方程的两个正根。并且。 所以的解集为. （2）已知关于x的不等式的解集为（1，2），解关于x的不等式。 解：由，令，则的解集为。 练习：已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），解关于x的不等式。 解：，令，则或进而有 二．二次函数二次不等式二次方程 二次函数的单调性，闭区间上的最值与图象对称轴的关系。 二次函数的几种表示形式； ①标准式：； ②顶点式：； ③零点式；； ④三点式：+ + 求解“三个二次”的常用方法 构造函数法、变量分离法、数形结合法、巧用特殊值法及基本不等式法。 例1 设，证明：二次函数 的最小值不超过。 分析：引导学