不需矩阵求逆的最小二乘法..doc

一种不需矩阵求逆的最小二乘法 本文着重介绍了一种新的不需要矩阵求逆的最小二乘法。在LS估计中，需要计算矩阵(ΦTΦ)的逆,由于矩阵，求逆比较影响辨识速度。能否在LS中避免(ΦTΦ)的求逆运算？从而提高LS的辨识速度。 关键字：LS估计 求逆运算 辨识速度 最小二乘法 1 问题提出 在LS估计中，需要计算矩阵(ΦTΦ)的逆,由于矩阵，求逆比较影响辨识速 度。能否在LS中避免(ΦTΦ)的求逆运算？从而提高LS的辨识速度。 (1)不需矩阵求逆的LS算法特点 ①不需计算矩阵的逆； ②辨识精度与基本LS相同； ③辨识速度比基本LS有较大提高； ④适合模型阶次n未知的情况下应用； ⑤是一种按模型阶次n递推的算法。 (2) 算法推导 系统的差分方程为： 上式写成矩阵形式有： 式中： 令k分别等于1,2…… n,有n个方程，则有： 式中： 2 任务提出 由{u(k)}及{y(k)}辨识ai、bi及n。 3采用方法 采用模型阶次n的递推方法。即从n=0开始辨识→n=1→n=2→…… 由可得其LS估计值为： 下面推导按模型阶次n的递推算法。 (1)模型阶次n=0的辨识 引入中间变量X： 记n=0时的X为X0： (2)求 假设模型阶次为n-1时的参数辨识结果已知，也就是已知，现欲求模型阶次为n时的辨识结果。 即求： 这里，我们先求Xn。 由Φ可知： 式中： 令 ，则： 根据分块矩阵求逆可得： 式中： 同理，令 ，则可推得： 式中： 至此， 已求得。 求解步骤： (3)求 (4)求 4总结 通过与矩阵求逆的LS算法对比可得出：不需矩阵求逆的LS算法优势是不需计算矩阵的逆，简化计算，减少计算量，并且辨识精度与基本LS相同，且辨识速度比基本LS有较大提高和适合模型阶次n未知的情况下应用，是一种按模型阶次n递推的算法。 动态模型参数极大似然辨识及其MTLAB实现 极大似然法辨识方法特点： (1)无偏估计方法； (2)适用于ξ(k)相关情况； (3)当系统信噪比较小时有较好的估计效果； (4)算法稳定度好； (5)是一种递推算法； (6)实际工程中广泛使用。 设动态系统的模型表示为 式中，是均值为0，方差为2，服从正态分布的不相关随机噪声；u(k)和z(k)表示系统的输入输出变量。 现给出一系统模型为 z(k)-1.2z(k-1)+0.6z(k-2)=u(k-1)+0.5(k-2)+e(k) e(k)=v(k)- v(k-1)+0.2 v(k-2) 其中v(k)为随机信号，输入信号是幅值为1的M系列或随机信号，试用递推的极大似然法求系统辨识的参数。 程序如下： clear a(1)=1;b(1)=0;d(1)=0;u(1)= d(1);z(1)=0;z(2)=0;%初始化 for i=2:1200 %产生m序列u(i) a(i)=xor(c(i-1),d(i-1)); b(i)=a(i-i); c(i)=b(i-1); d(i)=c(i-1); u(i)=d(i); End u; v=randn(1200,1); %产生正态分布随机数 V=0; %计算噪声方差 for i=1:1200 V=V+v(i)*v(i); end V1=V/1200; for k=3:1200 %根据v和u计算z z(k)=1.2*z(k-1)-0.6*z(k-2)+u (k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)-v(k-1)+0.2*v(k-2); end o1=0.001*ones(6,1);p0=eye(6,6); %幅初值 zf(1)=0.1; zf(2)=0.1; vf(2)=0.1; vf(1)=0.1; uf(2)=0.1; uf(1)=0.1; %迭代计算参数值和误差值 for k=3:1200 h=[-z(k-1); -z(k-2); u(k-1); u(k-2); v(k-1); v(k-2);]; hf=h; K=p0*hf*inv(hf*p0*hf+1); p=[eye(6,6)-K*hf]*p0; v(k)= z(k)-h*o1; o=o1+K*v(k); p0=p; o1=o; a2(k)=o(2); b1(k)=o(3) ; b2(k)=o(4) ; d1(k)=o(5) ; d2(k)=o(6) ; e1(k)=abs(a1(k)+1.2); e2(k)=