留数定理计算积分-1.ppt

* Department of Mathematics 第二节 用留数计算定积分 留数定理的应用--积分的计算: （2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论； （3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。 利用留数计算积分的特点： （1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算； 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 形如 当 历经变程 时, 的 正方向绕行一周. z 沿单位圆周 z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 注 : 例1 解 故积分有意义. 因此 注 : 此时 例2 计算积分 解 则 由留数定理 例3 计算 解 由留数定理 注 : 例4 计算积分 解 在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如 数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷. 1引理6.1 证明 因为 于是有 于是有 2定理6.7 证明 由条件(1),(2)及数学分析的结论,知 x . . 根据留数定理得 : 或写成 因为 解 例5 解 例6 引理6.2 x y . . 证明 于是就有 于是由Jordan不等式 将(6.13)化为 应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得 2定理6.8 则有 注:将(6.14)分开实虚部,就可得到形如 的积分. 证明 x . . 根据留数定理得 :