l矩阵初等变换的若干问题.docVIP

前 言 众所周知,初等变换是高等代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法,它贯穿于高等代数教材体系的始终。这种思想方法的实质是将问题化繁为简、化大为小、化多为少,并且保持事物的某些性质不变。 矩阵的初等变换起源于解线性方程组的三类同解变换：即交换两个方程的位置；给某一个方程乘以一个非零常数；给某一方程乘以某常数后加到另一个方程上。我们知道,一个线性方程组与它的增广矩阵唯一对应,因此当矩阵初等变换这一概念提出来以后，解一个线性方程组就等价于利用矩阵的初等变换来化简一个增广矩阵。至此,矩阵的初等变换似乎已经完成了它所要承担的“任务” 。但事实远非如此,随着矩阵理论的发展,新概念不断产生,新问题也随之产生,如求解矩阵的秩,化二次型为标准形以及求矩阵的特征值和特征向量等。尽管这些问题也可以通过别的途径解决,但当我们利用矩阵的初等变换来处理上述问题时，往往会感觉到简便易行，有时甚至比用这些定义本身去解决相应问题更有效。 近年来,矩阵初等变换在解决线性代数有关问题中的特殊作用逐步显现,但在一般的教材和文献中很少有对其进行详细归纳和总结的。本文便是通过查阅各种文献资料,在前人的基础上进行补充和完善而成的。本文首先介绍了矩阵初等变换的定义；接着总结了矩阵初等变换的五条重要性质并对其进行了严格地证明；然后结合相应的实例详细地探讨了矩阵初等变换在求矩阵的秩,求可逆矩阵的逆矩阵,解矩阵方程,求矩阵的特征值,判断向量组是否等价,化二次型为标准形等十一个典型问题中的重要应用；最后对矩阵初等变换进行了合理的推广— 广义的矩阵初等变换,即分块矩阵所对应的初等变换和-矩阵所对应的初等变换，广义的矩阵初等变换与普通的矩阵初等变换相比有着不同的性质因而它们适用于解决不同的代数问题。 第一章 矩阵的初等变换 分别称以下三类变换为矩阵的第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ类初等行变换： Ⅰ 换法变换：对调矩阵中任意两行的位置； Ⅱ 倍法变换：以一个非零常数乘以矩阵中某一行； Ⅲ 消法变换：将矩阵中某一行的数量倍数加到另一行。 类似地，可以定义矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。 1.1 矩阵初等变换的重要性质 命题1 矩阵的第Ⅱ,Ⅲ类初等变换是独立的。即矩阵的第Ⅱ类初等变换不能由第Ⅰ,Ⅲ类初等变换实现,矩阵的第Ⅲ类初等变换不能由第Ⅰ,Ⅱ类初等变换实现。 证明 ① 矩阵的第Ⅱ类初等变换不能由第Ⅰ,Ⅲ类初等变换实现,以为n阶方阵为例， 经第Ⅰ,Ⅲ类初等变换(可以为有限次)所得矩阵,则或, 当,或时,显然,从而说明第Ⅱ类初等变换不能由第 Ⅰ,Ⅲ类初等变换实现。 ② 矩阵的第Ⅲ类初等变换不能由第Ⅰ,Ⅱ类初等变换实现,以单位矩阵为例, 由第Ⅰ,Ⅱ类初等变换所得矩阵的某一行定与原矩阵相应的某一行成比例,而() 则的任意一行与原矩阵的任何一行无比例关系,所以第Ⅲ类初等变换不能由第Ⅰ,Ⅱ类初等变换实现。 命题2 矩阵的第Ⅰ类初等变换可由矩阵的第Ⅱ,Ⅲ类初等变换实现。 证明 以行初等变换为例来说明,设 = 而 故矩阵的第Ⅰ类初等变换可由矩阵的第Ⅱ,Ⅲ类初等变换实现。 命题3 对矩阵作行的初等变换不改变矩阵列向量之间的线性关系。 证明 设矩阵经过一次行的初等变换后得到,和的列向量分别记为和,如果的任何一部分列向量（假设前个向量, ）满足线性关系式: 即 亦即 =0 ① 若设是初等变换对应的初等矩阵,那麽可逆且,将①式两边左乘得 : 　=0 　　　　　　　　　　　　　　 　　　② 即，亦即,这说明的部分列向量之间所显示的线性关系即为对应列向量之间的线性关系，一次行的初等变换如此则若干次也一样，从而对矩阵作行的初等变换不改变 列向量之间的线性关系。（同理,矩阵的初等列变换也不改变矩阵行向量之间的线性关系） 命题4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 证明 设矩阵经过一次行初等变换后得到,和的列向量别记为和,由命题3知矩阵的初等行变换不改变列向量之间的线性关系,则向量组和的极大线性无关组所含向量的个数相同,从而矩阵和有相同的秩。 命题5 矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性 证明：由命题4知矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,从而矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性。 1.2 矩阵的初等变换与初等矩阵 阶单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为阶初等矩阵,也即以下3种形式： = = = 矩阵的初等变换之所以在求矩阵的逆,化二次型的标准型等问题中非常奏效,其理论依据主要来自以下命题: 命题6 设为行列矩阵,对实行一次初等行变换,其结果等于在的左边乘以相应的阶初等矩阵; 对实行一次初等列变换,其结果等于在的右边乘以相应的阶初等矩阵。 证明 以第Ⅰ类初等行变换为例,用阶初等矩阵