l矩阵秩的相关问题.docVIP

高等代数选讲 论文 题 目 矩阵秩的相关问题 学 院 数学与统计学院 姓 名 *** 指导老师 *** 学 号 *********** 班 级 *****************  一、相关基础理论 1矩阵的秩的相关概念 1.1 矩阵秩的定义 在一个行列的矩阵中，任取行列.位于这些行列交点处的元素所构成的阶行列式成为这个矩阵的阶子式. 一个矩阵中不为零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零.初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵秩的等价定义： 矩阵的行秩等于矩阵的列秩，统称为矩阵的秩. 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 1.2 矩阵秩的有关性质 设矩阵和分别是和阶矩阵，，为矩阵，则，若，. ,. 设为矩阵，，则的任意行组成的矩阵，有. 设，则；，则. 设矩阵和分别是和阶矩阵，则. ，当时；，当时.其中是的伴随矩阵. 若与同解，则. ，其中为的矩阵，为的转置. ,,是阶方阵. ，，这里和分别是和 矩阵. . 若G为列满秩矩阵，H为行满秩矩阵，则. 2 多项式根的相关定义 多项式函数 定义: 设，数，将的表达式中的用代替得到的数 称为当的值，这样由定义了数域上的函数. 多项式的根：若时的值，那么叫做在中的一个根. 3 线性方程组的相关知识 3.1一般形式如下： 简记为，其中，，记为的转置. 称为系数矩阵，称为增广矩阵. 若，则称该线性方程组为齐次线方程组，否则为非齐次线性方程组. 3.1齐次线性方程组有关理论 定理 1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小. 定理 2 ( 线性方程组有解判别定理 ) 线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. 定义 1 齐次线性方程组的一组解称为的一个基础解系 , 如果 1) 的任意一个解都能够表 示成,,,的线性组合的形式 . 2 ) ,,线性无关. 定理 3 齐次线性方程组有非零解的情况下 ,它有基础解系, 并且基础解系所含解的个数等于 , 这里 是齐次线性方程组中未知量的个数 , 表系数矩阵的秩 , 就是自由未知量的个数 . 二、矩阵秩的相关问题 1、矩阵的秩与多项式的等价命题 定理 设复数域上的次多项式的个根分别为那么下面的五个命题相互等价 令 .则如下构造的级方阵的秩为 其中 有一个多项式，使得 为一次多项式 阶方阵的秩为其中. 证明 由矩阵的构造知 ; 于是,秩秩秩从而,可令这样 . 由得.用去除得.取则有. 由得于是 而为次多项式,所以, 为一次多项式. 因,设,则与有完全相同的不可约因式.由于只有一次因式, 的次数为,所以有个相同的因式,一即有个相同的根,于是可令这样 . 有此得,秩,因初等变换不改变行列式的秩,所以秩. 令秩而且秩故秩 2 利用线性方程组证明矩阵的秩的有关问题 2.1利用线性方程组有解的充分必要条件 例1 设均为阶方阵,为解列向量,证明若则 证 构造线性方程组 ，因为所以 有解，设 为其一解 .另设，，则：于是即可由线性表示，从而 例2 设为阶可逆反对称矩阵，为元列向量，求证其中. 证 因为所以 设 有解，即，，于是. 又则即 于是 即有解，故 2.2 利用齐次线性方程组基础解系中向量的个数与系数矩阵的秩的关系 设 为 矩阵，齐次线性方程组 永远有解，若，则的基础解系，即解空间的基含有个解向量. 命题 1 设 为 矩阵， 为 矩阵，若 ，则 证 因为 ，所以 的 个列向量都是齐次线性方程组 的解向量，则 AX=0 的基础解系中恰有个解向量，所以，故 例3 设 ,均为 阶方阵，存在阶非零矩阵 使得，其中 证明：存在 阶非零矩阵 ，使得 . 证 因为 ，所以由命题 1 知 ，因而 ，同理，对线性方程组 ，由 知， 有非零解 ，令 其中 为 维列向量，则，且 . 2.3 利用线性方程组同解与系数矩阵的秩之间的关系 有许多秩的问题，可以通过构造两个甚至多个线性方程组，先证明它们同解，然后得出矩阵的秩之间的关系. 命题2 设 和 分别为 和 矩阵，则：(1) 若的解都是 的解，则 ； (2) 若与同解，则 . 证 （1）因为 的解都是 的解，所以 的解空间 包含于的解空间 ，从而解空间的维数，即，故. （2） 矩阵的秩的相关性质的第条. 例 4 设 为 阶方阵，证明：…. 证 先证 与同解.显然 的解必为 的解，下证 的解必为的解.